文档介绍：山西财经大学应用数学学院
学 年 论 文
题目
泰勒公式及其应用
作 者
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完成日期
泰勒公式及其应用
张蕊
（应用数学学院，2013级，信息与计算科学，******@）
摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。
关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项;中值定理；求极限；微积分。
1 引言
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼 近 法”的 精 髓。它 建 立 了 函 数的增 量，自 变 量 增 量 与 一 阶 及 高 阶 导 数 的 关 系 ，将 一 些 复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的
原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。
2 预备知识
定理1 设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得：
(1)
其中
（2）
公式（1）称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式,的表达式（2）称为拉格朗日型余项.
定理2 若函数在点存在直至阶导数,则有
(3)
公式(3)称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式,形如的余项称为佩亚诺型余项.
特别地：在泰勒公式(1)中,如果取,则在0与之间,因此可令从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式:
（4）
在公式(3)中,如果取,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：
(5)
麦克劳林公式常见函数的展开式：
.
…
…
.
定理3泰勒中值定理
若函数在，上存在直至阶的连续导函数，在，内存在阶导函数，则对任意给定的，，，至少存在一点，，使得
证明： 作辅助函数
，.
所要证明的式即为
不妨设＜，则与在，上连续，在，内可导，且
又因，所以由柯西中值定理证得
其中，， 证毕.
式同样称为泰勒公式，它的余项为
， ＜＜ .
注意到时，式即为拉格朗日种植公式
所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广
当时，得到泰勒公式 ＜＜
式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式