文档介绍：理论力学
李俊峰
——刚体动力学
第七章刚体动力学
刚体质量几何
下面介绍描述质量分布的物理量:
质心,转动惯量,惯性张量等。
质点的运动与什么有关?
——外力,质量。
质点系(刚体)的运动与什么有关?
——外力,质量,质量分布。
§7-1 刚体质量几何
1) 张量是向量的推广,回忆一下向量的性质。
设向量在坐标系中的分量写成列阵为: 它在坐标系中的分量写成列阵为:
一、张量
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刚体质量几何
如果从到的变换矩阵为 S, 则之间关系为: ()
可见,并不是任意三个数组成的列阵都是某个向量的分量。向量的分量随着坐标系不同而不同,并且满足上面的关系式。
我们重新给出向量的定义:向量是一个包含3个分量的量,当坐标变换时,它在不同坐标系中的分量满足坐标变换关系式() 。
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刚体质量几何
向量是自然界中存在的许多物理量的概括,不是人们凭空杜撰出来的。
2)张量也是一些物理量的抽象和概括,它是这样定义的:张量P是一个包含9个分量的量,当坐标变换时,它在不同坐标系和 中分量和满足关系式
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刚体质量几何
我们发现:标量有个分量(零阶张量) 向量有个分量(一阶张量) 张量有个分量(二阶张量) N 阶张量有个分量
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刚体质量几何
我们可以用列阵表示向量在某个坐标系中的分量;
用矩阵表示张量在某个坐标系中的分量。
由于张量有9个分量,用矩阵表示比较方便。用
表示张量在坐标系 oxyz 中的矩阵。
如果,则称P为对称张量。 ,则称P为反对称张量。
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刚体质量几何
例7-1 试验证刚体角速度是二阶反对称张量。
设在坐标系中和在中列阵为 和,在另一固定坐标系中列阵为
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刚体质量几何
证:刚体上某点在固定参考系和固连系
中的向径为和,于是有
在中角速度矩阵定义为
在中角速度矩阵定义为
故角速度是二阶张量,反对称性在运动学中已证。
例7-2 证明并矢是二阶张量,其矩阵为
(两向量并列在一起称并矢)
证:
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刚体质量几何
例7-3 任何二阶张量都可以用并矢表示。
证:
设张量P在oxyz中的矩阵为
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刚体质量几何
令:
则:
单位张量:
证毕。