文档介绍：第七章刚体动力学
刚体定点转动
§7- 4 刚体定点运动动力学
取刚体固连坐标系oxyz
1 运动微分方程
在刚体固连坐标系oxyz中方程的分量形式为
若oxyz为主轴坐标系,则方程为
此称为欧拉方程
第七章刚体动力学
刚体定点转动
(y,z方向的分量表达式略。)
2 欧拉方程的积分
3)科娃列夫斯卡娅(1888年): 重心在赤道面上,即
第七章刚体动力学
刚体定点转动
1)欧拉情况(1758年):
2)拉格朗日情况(1788年): ,只受重力作用, 重心在对称轴上,即
4)已证明(1905年):不存在第四种可积情况。
仅在特殊情况下可求出适用任何初值的精确解。
本课程主要介绍。
1) 刚体永久转动:角速度向量相对刚体和惯性空间不变的运动。
角速度相对刚体不变
可见,永久转动只能是绕惯性主轴进行。
第七章刚体动力学
刚体定点转动
3 刚体定点运动的欧拉情况
2) 刚体永久转动稳定性:
对于欧拉情况,存在绕三个主轴的三种永久转动,但是否都可以在物理上实现,要看其稳定性如何。
第七章刚体动力学
刚体定点转动
某个运动是稳定的是指:与此运动相应的初值受到扰动产生的微小变化,不会使以后时刻的运动产生显著变化。由于扰动是无法避免的,因此只有稳定的运动在物理上可以实现。例如单摆的平衡位置,数学上有两个(摆角为0和180度),但稳定的只有一个(摆角为0度)。
第七章刚体动力学
刚体定点转动
我们可以用简便的方法研究欧拉永久转动稳定性。
设欧拉永久转动为
在初始时刻永久运动受到扰动, 不再为零,而是小量, 也偏离某一个小量。不妨设
,研究在以后的运动中, 是否还是小量。如果是,则运动稳定,否则运动不稳定。
第七章刚体动力学
刚体定点转动
将代入欧拉方程得:
第一、二式分别乘以,相加,并对时间积分得:
可见,只要C > A 且C > B,则初始很小的在以后的任何时候都是小量。
第七章刚体动力学
刚体定点转动
自旋稳定卫星设计的最大轴原则。
再根据刚体的能量守恒:
可知在以后的任何时候也将是小量。
这表明:刚体绕最大或最小惯性主轴的永久转动是稳定的。该结论的严格证明可利用Lyapunov运动稳定性理论给出。另外,利用稳定性理论还可以证明:刚体绕中间惯性轴的永久转动不稳定。
若考虑阻尼,绕最小惯性主轴的永久转动也不稳定。
3) 欧拉情况下轴对称刚体的运动——规则进动
另一方面根据OZ轴在oxyz中投影可得
第七章刚体动力学
刚体定点转动
设A=B,固联系oxyz的oz轴为刚体对称轴,取固定坐标系OXYZ。由于动量矩守恒, 为常矢,可以令OZ沿着的方向。
一方面在oxyz中列阵为
其中---进动角, ---章动角, ---自转角
由欧拉方程:
第七章刚体动力学
刚体定点转动
由此得