文档介绍：2017-1-20 1§ 凸集与凸函数 2017-1-20 2一、凸集定义 设集合, nRD?若对于任意两点,,Dyx?及实数?? 0 1 , ? ?? ?都有: ?? 1 x y D ? ?? ??则称集合 D为凸集. 注: 常见的凸集:空集,整个欧氏空间 nR 超平面: ?? bxaxaxaRxH nn n??????? 2211半空间: ?? bxaxaxaRxH nn n???????? 2211 2017-1-20 3 例1:证明超球 rx?为凸集. 证明: 设 yx,为超球中的任意两点, 0 1, ?? ?则有: ?? 1 x y ? ?? ??? 1 x y ? ?? ???? 1 r r r ? ?? ???即点?? 1 x y ? ?? ?属于超球所以超球为凸集. 2017-1-20 4凸集的性质(1) 有限个(可以改成无限)凸集的交集为凸集. (2) 设 D是凸集, ?是一实数, 则下面的集合是凸集: ?? DxxyyD???,??(3) 设 21,DD是凸集, 则 21,DD的和集?? 21 21,,DzDxzxyyDD??????是凸集; 2017-1-20 5 注: 和集和并集有很大的区别,凸集的并集未必是凸集,而凸集的和集是凸集. 例2: ???? RxxD T??0, 1表示 x轴上的点. ???? RyyD T??,0 2表示 y轴上的点. 则 21DD?表示两个轴的所有点, 它不是凸集; 221RDD??而凸集. 2017-1-20 6 推论: 1 m i i iD???设, 1, 2, , i D i m ??是凸集, 则也是凸集, 其中 i?是实数. 定义 :设, 1, 2, , , i x D i m ? ??实数 0 , ia? 1 1, miia ???则 1, m i i i x a x ???称为, 1, 2, , , i x i m ??的凸组合. 注: 凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该凸集中. 2017-1-20 7 二、极点????,0????aaxRxD n定义 设 D为凸集, ,Dx?若 D中不存在两个相异的点 zy,及某一实数?? 0,1 ??使得?? 1 , x y z ? ?? ??则称 x为 D的极点. 注: 例3:则 ax?上的点均为极点. 2017-1-20 8 证: 设,ax?若存在 Dzy?,及?? 0,1 , ??使得?? 1 , x y z ? ?? ??则: ???? 22 1 , 1 a x y z y z ? ???? ????????? 2 2 2 2 1 2 1 y z y z ? ???? ???? 2a?不等式要取等号,必须,azy??且,,zyzy?容易证明,xzy??根据定义可知 x为极点. 2017-1-20 9 三、凸函数定义 严格凸函数 2017-1-20 10 ??????????? ???????? 2 2 2 1 1 1 1 1 x y x y ? ????????? ??? 2 1 0 x y ? ?