文档介绍：第二章 基本定理
常微分方程的几何解释
解的存在唯一性定理
解的延展
奇解与包络
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G
常微分方程的几何解释
线素场
一阶微分方程
右端函数
在区域
为中
心,作一单位线段,使其斜率为
,称为在点
的线素.
这样在区域G上确
在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.
定了一个线素场(又称方向场).
K为参数
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例1 试讨论方程
所确定的线素场.
解 除Y 轴无定义外,方程在两个半平面上都确定了线素场.
易见在点
的线素与
过原点与该点的射线重合.
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L为()的积分曲线的充要条件是:在L 上任一点,L 的切线方向与()所确定的线素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与线素场的线素相切.
证明 必要性
设L为()的积分曲线,其方程为
,则函数为(),在其有
定义的区间上有
上式左端为曲线L在点
恰为方程()的线素场在同一点处的线素斜率
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素场的线素方向重合,,在函数 有定义的区间上,恒有等式
的切线 与线素场在该
.
充分性 设方程为
上式左端为曲线L在点
的曲线L,在其上任
何一点
这个等式恰在此时好说明 为方程()的解
处,它的切线方向都与方程()的线
从而曲线运动L为方程的积分曲线.
直观地说:积分曲线是始终”顺着”线素场的线素方向行进的曲线.
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例2
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例3
积分曲线
方向场
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向量场的示意图
积分曲线
例7
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假设函数
欧拉折线----求过一点的近似积分曲线
等分,其分点为:
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先求出
用经过
斜率为
的直线段来近
似积分曲线,其方程为
求出直线上横坐标
就很接近积分曲线上的点
如果 h 很小
处的点的纵坐标
因
出发的斜率为
用经过
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