文档介绍：4. 弹性力学轴对称问题的有限元法
本章包括以下内容:

物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴,因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面,所有应力、应变和位移也对称于该轴,这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,θ,z),以z轴为对称轴。

,通过Z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性,轴对问题共有4个应力分量:
(4-1)
其中表示沿半径方向的正应力,称为径向应力;表示沿θ方向的正应力,称为环向应力或切向应力;表示沿z方向的正应力,称为轴向应力;表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。

同样,轴对称问题共有4个应变分量:
(4-2)
其中表示沿半径方向的正应变,称为径向正应变;表示沿θ方向的正应变,称为环向正应变或切向正应变;表示沿z方向的正应变,称为轴向正应变;表示沿r和z方向的剪应变。
在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移u和轴向位移w,两个位移分量表示为,
(4-3)
在讨论弹性力学平面问题的有限元法时,我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体,由虚功方程得到单元刚度矩阵,集成后得到整体刚度矩阵。在这里,我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。
由虚功方程可得,外力虚功等于内力虚功或虚应变能,
(4-4)
其中{F}为体力,{p}为面力。
将弹性体离散后,作用在弹性体上的外载荷移置到节点上,在每个节点上外力只有径向分量,轴向分量,
(4-5)
每个节点的虚位移也只有径向分量,轴向位移分量。
(4-6)
在单元中由虚位移引起的虚应变为,
(4-7)
单元中的实际应力为,
(4-8)
离散后的单元组合体的虚功方程为,
(4-9)
(4-10)
就是单元刚度矩阵。
对于轴对称问题,
(4-11)
将(4-11)代入(4-10)可得
(4-12)
为整体刚度矩阵,得到方程组,
(4-13)

轴对称问题分析中所使用的三结点单元,在对称面上是三角形,在整个弹性体中是三棱圆环,各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数,轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为,
(4-14)
图4-2 三结点单元
按照平面问题三角形单元的分析过程,将结点坐标和结点位移代入(4-14)得到,
(4-15)
(4-16)
其中,
(4-17)
,,
定义形态函数为,
(下标i,j,m轮换) (4-18)
用矩阵表示的单元位移为,
(4-19)

轴对称问题的几何方程:
(4-20)
由(4-19)式得,
(4-21a)
(4-21b)
其中,(下标轮换)
(4-21c)
(4-21d)
(4-21e)
用几何矩阵表示单元的应变,
(4-22)
(4-23)
(下标轮换) (4-24)