文档介绍：第九章相似原理与量纲分析法
粘性流体基本方程组求解非常困难,在解决实际问题时都要加以简化,但简化不能是随意的,需要有一定的规则,简化之后的解是否符合实际必须通过实验验证。但通常由于影响因素很多,如果安排实验才能合理地反映流动规律?模型实验如何进行?实验结果有多大推广价值?如果根本没有方程时又如何处理?……需要有理论加以指导。
§9-1 量纲分析法
一、基本量纲
基本单位:
长度[L]、时间[τ]、质量[M]、温度[T]
导出单位:
力[MLτ-2]、压强[ML-1τ-2]、
动力粘度[M L-1τ-1]、运动粘度[L2τ-1]、
密度[Mτ-3]、速度[Lτ-1]、
加速度[Lτ-2]、导热系数[Mτ-3T]、
比热[L2T-1τ-2],……
二、雷利法(Rayleigh ,1899年)
1)将影响流动过程的n个物理量的隐函数,写成幂函数形式:
2)用基本量纲表示各物理量;
3)根据量纲和谐原则,方程两边基本量纲的指数应相等,
即构成指数应满足的方程(4个方程)
4)当n≤4时可直接求解,当n>4时,有n-4个指数待定;
5)适当选择待定指数构造出准则数。
示例:管内层流运动的压力损失
设与ρ,u,d,μ,l 有关,则
方程三个,未知数5个。
(等温流动)
则
如取:
则:
如取:
则:
对比理论结果:
可知:
三、定理(Buckingham ,1914年)
1)列出影响因素:n个物理量,写成隐函数形式:
2)选择其中三个(不考虑温度时)在量纲上基本独立的
物理量x1,x2,x3,对等温流动可取l,u,ρ.
3)用三个量的组合,来表示x4,x5,……xn共n-3个物理量
4)比较[M],[L],[ T]的因次,解出全部
5)建立(n-3)个无量纲的综合物理量,称π项(无量纲)
6)将待求函数关系式写成(n-3)个π项的关系式:
(i=4,5,……n)
示例:某流动现象由下列因素决定:
流速V,密度,线形尺寸,压差P,重力加速度g,动力粘度,表面张力,弹性模量E等,现有π定理建立相似准则。
解:
取,V,l 为基本量,则
解得:
即Eu数
故
同理可得:
无量纲方程:
或写成:
或:
如:对不可压管内流动,Fr,We,M均不重要,可忽略。
则:
实验证明:
为线性关系
于是:
只需对和Re和/d做有限次实验,可得出的具体关系式,则流动阻力关系式即完全确定。------尼古拉兹实验
取阻力系数:
则:
称Darchy公式
如
(阿里特苏里公式)
小结
(A) 由定理可方便地求出全部准则数;
(B) 无需知道运动方程,结合实际即可得到应用面
广泛的准则方程;
(C) 其作用绝不亚于对基本方程求得解析解,这
是实验流体力学可以独立发展的重要原因;
(D) 只是宏观规律,不能了解流场微观信息,如
流速、温度、密度等的时空分布(解析解、
数值解)。