文档介绍：第二章拉格朗日运动方程
§2. 1 约束广义坐标
§2. 2 达郎贝尔原理
§2. 3 完整约束拉格朗日方程
§2. 4 非完整约束的拉格朗日方程
§2. 5 对称性和守恒定律
§2. 1 约束广义坐标
一、约束与分类
1、约束:限制各质点自由运动的条件。
2、分类
(1)几何约束和运动约束( 微分约束)
几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0
运动约束: fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ,t ) = 0
( i =1, 2, … k )
式中 k 为约束个数, 独立约束的个数≤3n 。
(2) 稳定约束和非稳定约束
稳定约束: 约束方程不显含 t 的约束。
非稳定约束: 约束方程显含 t 的约束。
例:稳定的几何约束:fi ( r1, r2, …rn ) = 0
稳定的运动约束: fi ( r1, r2, …rn , v1, v2, …vn ) = 0
( i =1, 2, … k )
(3) 可解约束和不可解约束
不可解约束:约束方程为等式。
可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式。
例:不可解几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) = 0
可解几何约束: fi ( r1, r2, …rn ,t ) ≥ 0 或≤ 0 。
(4)完整约束和非完整约束
非完整约束: 有两种情况
(a) 可解约束;
(b) 微分约束中若约束方程不能单独积分
( 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的同时才能积分).
完整约束: 除上述两种情况外的约束.
今后主要研究受完整约束的力学体系, 即研究完整系的力学问题.
例1:一球面摆,O 点固定;OM 为轻刚性杆,杆长为l ;M 点系一质点,其质量为 m 。
设O 点为直角坐标原点,则质点 M 的约束方程为: x2 + y2 + z2 - l2 = 0它是稳定、不可解、几何、完整约束。
若O 点不固定,在 x 方向有一恒定速率 c,t = 0 时O 点处于坐标原点,则约束方程为:
(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 = 0
它是非稳定、不可解、几何、完整约束。
O
M
l
例1:一球面摆,O 点固定;OM 为轻刚性杆,杆长为l ;M 点系一质点,其质量为 m 。
若OM为不可伸长的柔软绳,则约束方程为:
O点固定: x2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0
O点不固定:(x – ct)2 + y2 + z2 - l2 ≤ 0
它是可解约束。约束空间为以O为球心、l 为半径的球体。
O
M
l
例2:线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。
分析:体系的质心速度为常数,即约束方程为:
vC = C (微分约束)
积分得:xC = C t + xCo
x1
m2
m3
m1
x2
x3
§2 . 2 达郎贝尔原理
一、虚位移
假想的、符合约束条件的、无限小的、即时的位置变更,δr .
注意:(1)某一固定时刻,
即: dt = 0.
(2) 与实位移 dr 无关.
理解: dr = δr + vo dt
当 v →∞, dt → 0 ,
dr →δr .
B
B’
B”
A
dr
δr
v
vodt’
vodt”
vo