文档介绍：第五章非惯性参考系
§ 不同参考系之间速度和加速度的变换
固定坐标——惯性系
动坐标系——非惯性系
动坐标系: A = Ax i + Ay j + Az k
固定坐标: dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
动坐标
+ Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt
动相对固定
动坐标系:A = Ax i + Ay j + Az k
固定坐标:dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
+ Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt
讨论(1) 仅有转动(角速度ω相对固定坐标系)
∵ dr/dt =ω× r ∴ di /dt = ω× i ,
dj /dt = ω× j ,
dk /dt = ω× k .
记δA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k
则有: dA/dt = δA /δt +ω×A
转动参考系算符变换:d/dt = δ/δt +ω×
例: 质点的位置矢量 r ,求 v , a 。
解: v = dr /dt = δr /δt +ω×r = v 相+ v 牵
a = d2r /dt2 = d(δr /δt +ω×r ) /dt
= δ(δr/δt +ω×r) /δt
+ω×(δr /δt +ω×r)
=δ2r /δt2 +δ(ω×r) /δt
+ω×(δr /δt) + ω×(ω×r )
=δ2r /δt2 +(δω/δt )×r + ω×(ω×r )
+ 2ω×(δr /δt) = a 相+ a 牵+ a 科
a 相= δ2r /δt2
a 牵= (δω/δt )×r + ω×(ω×r )
a 科= 2ω×(δr /δt)
dA /dt = δA /δt +ω×A
运算公式:A × B ×C = B (A · C ) –(A · B) C
ω×(ω×r ) = ω(ω·r ) - ω2 r
= ω2 (OB - OP) = -ω2 R
对于角速度ω,角加速度为β
β= dω/dt = δω/δt +ω×ω
= δω/δt
说明角加速度与坐标系无关。
R
r
ω
B
P
O
例: 一等腰直角三角形OAB 在其自身平面内以匀角速ω绕 O 转动。P 点以匀相对速度沿AB边运动,当三角形转一周时, P 点走过AB,如AB=b,试求P点在A 时的绝对速度与绝对加速度。
P
A
B
y
z
x
O
ω
(2) 平动+ 转动
固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系:
rI = R + r
d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2
= d2R /dt2 + δ2r /δt2 + (δω/δt ) ×r
+ω×(ω×r ) +2ω×(δr /δt)
或 a = a平+ a相+β×r -ω2 R + 2ω×v相
若等角加速度转动β= 0,无平动加速度 a平= 0,则:a = a’-ω2 R + 2ω×v’
§ 非惯性系中的动力学方程惯性力
惯性系中: m d2rI /dt2 = F
非惯性系:
m2r/t2 =F -m[d2R /dt2+βr +ω(ωr) +2ωv’]
= Feff
1、平移力
- md2R /dt2 ←动系平动加速
2、方位力
- mβ r ←动系转动加速
3、惯性离心力
- m[ω(ω r ) ←动系相对固定系转动
4、科里奥利力
- 2mω v’←质点相对动系运动
例:在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。此管以匀角速ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时,球距转动轴的距离为 a , 球相对管的速率为零,而的总长为 2a 。
o
x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc
mω2x
v
vz
vx
ω
求:(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度;
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间。
(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度;