文档介绍：第七章分析力学的变分原理
约束的分类广义坐标
虚位移和虚功理想约束
虚功原理
哈密顿原理
第七章分析力学的变分原理
§7-1 约束的分类广义坐标
一、约束方程
由约束物体预先给定的对力学系统运动的限制叫做约束.
初始条件和受力决定轨迹是直线
约束物:铁丝
限制包括对位置和对速度的限制.
设系统由n个质点组成, 以xi, yi, zi 表示第i个质点的坐标, 则约束方程为
§7-1 约束的分类广义坐标
(1)球面摆的约束,OM为刚性轻杆
设O点为直角坐标原点,则质点m的坐标方程满足
若O点不固定,在x方向有一恒定速率v,t=0时O点处于坐标原点,则约束方程为
若刚性轻杆换成柔软轻绳(绳长仍为l,不可伸长),则约束方程为
O点固定
O点不固定
§7-1 约束的分类广义坐标
(2)半径为R的车轮沿水平直线轨道做无滑滚动, 约束方程表示为
在一定初始条件下积分可得
两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速度的限制.
§7-1 约束的分类广义坐标
(3) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方向只能沿着冰刀的纵向.
以冰刀的质心坐标xc, yc和转角作为冰刀的位置坐标, 则冰刀的约束方程为
上式还可写成
由于cot与yc的函数关系不能确定, 所以不可积分.
§7-1 约束的分类广义坐标
二、约束的分类
1. 完整约束(几何约束)和非完整约束(微分约束)
约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为完整约束.
约束方程形式为
如果约束方程不仅包含质点的坐标, 还包含坐标对时间的导数或坐标的微分, 而且不能通过积分使之转化为仅包含坐标和时间的完整约束方程, 则这种约束称为非完整约束, 其约束方程形式为
不受非完整约束的系统称为完整系
本教材只研究
§7-1 约束的分类广义坐标
OM为刚性轻杆
O点固定
O点不固定
O点固定
O点不固定
OM为柔软不可伸长轻绳
完整约束
完整约束
完整约束
完整约束
§7-1 约束的分类广义坐标
积分
完整约束
非完整约束
§7-1 约束的分类广义坐标
2. 定常约束(稳定约束)和非定常约束(非稳定约束)
约束方程中不显含时间t的约束称为定常约束
约束方程形式为
约束方程中显含时间t的约束称为非定常约束
约束方程形式为
3. 双侧约束(不可解约束)和单侧约束(可解约束)
若约束方程是等式, 这种约束就是双侧约束. 若约束方程含有不等式, 就称为单侧约束.
4. 理想约束和非理想约束(根据约束力的性质划分)
§7-1 约束的分类广义坐标
OM为刚性轻杆
O点固定
O点不固定
O点固定
O点不固定
OM为柔软不可伸长轻绳
完整约束
完整约束
完整约束
完整约束
定常约束
定常约束
非定常约束
非定常约束
双侧约束
双侧约束
单侧约束
单侧约束