文档介绍：第二章流体动力学积分形式的
基本方程
§2-1 系统和控制体
一、系统
系统:一定质量的流体组成的一定体积的物系
特点:系统可以变形,但质量不变;系统与外界有能量
交换,即作功和热传递。
二、控制体
控制体:被流体所流过的,相对于某各坐标系来
说,固定不变的任何体积
控制体表面是封闭表面,称为控制面。
特点:体积和控制面不变(血管除外),控制面上既有
质量交换又有能量交换。
§2-2 拉格朗日型基本方程
设系统体积为τ 0 (t),表面积为 A0 ()t
一、连续方程
DM D
==ρτd0(不存在源或汇)
Dt Dt ∫∫∫ 0
τ0
M= ρdτ
∫∫∫ 0
τ0
二、动量方程
DDK
==ρτVFd
Dt Dt ∫∫∫ 0 ∑
τ0
= ρτfPdd+ A
∫∫∫ 00∫∫ n
τ00A
即: D
ρτVfdd=+ρτ PdA
Dt ∫∫∫ 00∫∫∫∫∫ n 0
ττ00A0
Pn :表面压力
n :作用面法线方向而非P 的方向
三、动量矩方程
DM D
0 =×rVρτd =r×F
Dt Dt ∫∫∫ 0 ∑
τ0
= ρτrf× dd+ r× PA
∫∫∫()00∫∫(n )
τ00A
Mr= ×Vdτ
00∫∫∫( )
τ0
四、能量方程
DE D ⎛⎞V 2
QW+= = ρ⎜⎟e+ dτ 0
Dt Dt ∫∫∫ 2
τ0 ⎝⎠
●热传导 q = qni q在 n 方向分量 q = −λ∆T ,n为外法
λ
Q 线方向,q由外向内为负,T 外高里低,∆T指向温增
● q ρdτ
热辐射总辐射热∫∫∫ R 0
τ0
Qq=+ρτd qdA
∫∫∫ R 00
∫∫λ
τ00A
Wd=+fViiρτd PV A
∫∫∫( ) 00
∫∫( n )
τ00A
q ρτdd++q dA fViiρτ+PVdA
∫∫∫ Rn00
∫∫λ∫∫∫( ) 0∫∫( ) 0
ττ00AA0 0
DV⎛⎞2
= ρτ⎜⎟e + d 0
Dt ∫∫∫ 2
τ0 ⎝⎠
§2-3 输运方程
I = φdτ
定义系统的某种物理量∫∫∫ 0
τ0
φφ= ()r,t 为标量或向量函数
DI D
= φdτ
系统导数 Dt Dt ∫∫∫ 0
τ0
注意:系统体积τ 00(dτ) 随时间变化
控制体体积τ(dτ) 不随时间变化
t 时刻,系统体积为τ 0,也
是控制体体积
ττ= 00()t= ΑA(t)
′
tt+∆时刻,系统体积为τ 0 ,
相应表面为Α′。τ 01为公共
部分
′
τ 03 =ττ0 −01 , τ02 =τ0 −τ01
A01为τ 01与τ 02交界面 A02 = AA0 − 01
A ′ττ′′′
02 为与01 03 交界面A02 =−AA0 01
∆=II(t+∆t)−I(t)
= φτrr,t + ∆t dd−φ, t τ
∫∫∫()00∫∫∫()
ττ01 ++02 ττ01 03
= ⎡⎤φ rr,t + ∆t −φτ, t dd+ φr, t + ∆t τ−φr,t dτ
∫∫∫⎣⎦( )()00∫∫∫( ) ∫∫∫()0
ττ01 02 τ03
DI ∆I 1
==lim lim ⎣⎦⎡⎤φ()rr, t +∆t −φτ(, t)d 0
Dt ∆→tt00∆∆t ∆→ t ∫∫∫
τ01
()1
⎡⎤
⎢⎥
1 ⎢⎥
+ lim φ()rr, t + ∆t ddτφ00−(), t τ
∆→t 0 ∆t ⎢∫∫∫∫∫∫⎥
⎢
ττ02
03
⎥
⎣()23() ⎦
由微分中值定理:
⎛⎞∂φ
φφ()rr,t + ∆t −(, t)= ∆t⎜⎟()01≤θ≤
⎝⎠∂t tt+∆θ
∆→t 0, τ 01 →τ 0
∂∂φφ
()1d==τ dτ
∫∫∫∂∂tt0 ∫∫∫
ττ0
dA
0 表示面 A01 ,A 02 上的某一段微元面积,∆t 内经过该
微元面流出的流体质点
dtτ≈∆Vni dA
00∫∫( )
A01