文档介绍：第四章
角动量守恒
刚体力学
4 章
§ 角动量守恒
质点的角动量 Angular momentum
1、质点的角动量
质量为m的质点相对O点的位矢 r ,以速度 v 绕 O 点运动,其角动量 L 定义:
L = rp= r (mv)
大小:L = mv r sin
若质点作圆周运动,
因 r 与 v 垂直,v=ωr,
故L=mrv=mr2ω
引入角速度矢量ω,
其方向垂直于运动平面,指向由右手定则。
mv
r
o
L
L
ω
ω
ω’
ω
ω’
v
v’
v
v’
4 章
2、质点的角动量定理
类比力的定义对角动量求时间变化率
dL/dt = d(rp) /dt
= r dp/dt+dr/dt p
( 因为 dr/dt =v 平行 p,故 dr/dt p = 0 )
dL/dt = r dp/dt
在惯性系中 f = dp/dt dL/dt = r f
定义对参考点O的力矩 Torque :M = r f
故: M = r f = dL/dt
一质点角动量的时间变化率等于作用于该质点上的力矩,这就是质点的角动量定理。
习题 4-1 一质量为 m 的质点自由降落,在某时刻具有速度 v,此时它相对于 A、B、C 三参考点的距离分别为 d1,d2,d3 。求:(1) 质点对三个点的角动量;(2) 作用在质点上的重力对三个点的力矩。
解: (1) LA = d1 mv,方向, LA = mvd1 ;
LB = d2 mv ,方向,
LB = mvd2 sin( + 90o) = mvd1 ;
LC = d3 mv = 0 。
(2) MA = d1 mg ,方向,
MA = mg d1
MB = d2 mg ,方向,
MB = mgd2 sin( + 90o) = mgd1 ;
MC = d3 mg = 0 。
d1
d2
d3
v
mg
A
B
C
m
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习题4-2 一质量为 m 的粒子位于( x , y )处,速度为 v = vx i + vy j,并受到一个沿- x 方向的力 f ,求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
解: r = x i + y j,v= vx i + vy j,f = - f i + 0 j。
i j k
L = r mv = m x y 0 = m ( x vy - y vx ) k
vx vy 0
i j k
M = r f = x y 0 = y f k
-f 0 0
4 章
3、质点角动量守恒定律
如果一质点对某点的力矩为零的话,它对该点的角动量是一恒矢量,这就是质点角动量守恒定律。
因为 L 为恒矢量,又 L 垂直于 r 和 v 所形成的平面,因此,L 为恒矢量时,质点只限制在一平面内运动。讨论两种特殊情况:
v
r
O
d
m
(1) F=0(自由质点 v 不变)
因 M = r×F= 0,L为恒矢量。
即:L = mv rsin=mv d
因 d= rsin是恒量,
故其路径沿一直线。
4 章
(2) F // r,或 F 方向通过O点
则 M = r×F = 0
一力的方向永远通过一个固定点,被称为有心力 Central force ,这固定点称为力心。
所以当一物体在一个有心力作用下运动时,该物体的角动量保持恒定;反之亦然。
例如,地球在一个有心力作用下绕太阳运行,这有心力的方向永远通过太阳的中心。所以地球相对太阳的角动量是恒定的。
4 章
例 4-1 一质量为 m 的质点系在绳子的一端,绳的另一端穿过水平光滑桌面中央的小洞,起初下面用手拉着不动,质点在桌面上绕 O作匀速圆周运动,然后,慢慢地向下拉绳子,使它在桌面上那一段缩短。质点绕 O 的角速度ω如何随半径 r 变化?
解:质点受到的是一个有心力,故其角动量守恒
v = rω
L = mrv = mr2ω
角速度反比于半径的平方
ω 1 / r2
vo
ro
r
F
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试求:当绳子到达B点(此时绳子被拉紧)
时的速度。
例: P为一水平面,一小球系于长度为 l 的
细绳的一端,绳的另一端固定于O点,开始时
绳子是松弛的,球位于A点,速度为,其
方向与AO垂直,球与O点的距离为d 。
v
0
解:由角动量守恒得
=
m
v
d
0
m
v
d
l
=
v
d
0
v
v
0
v
O
A
d
4 章