文档介绍：前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量,反映分量之间关系的数字特征中,最重要的,就是现在要讨论的 协方差和相关系数在讨论这个问题之前,我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时,有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系. 这里有两个变量,一个是父亲的身高,一个是成年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊收集了 1078 个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了一张散点图. 那么要问:父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢? 类似的问题有: 吸烟和患肺癌有什么关系? 受教育程度和失业有什么关系? 高考入学分数和大学学****成绩有什么关系? 为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题,我们需要从理论上对两变量的相互关系加以研究. 任意两个随机变量 X和Y的协方差, 记为 Cov (X,Y ), 定义为⑶ Cov (X 1+X 2,Y )= Cov (X 1,Y ) + Cov (X 2,Y ) ⑴ Cov (X,Y )= Cov (Y,X) 协方差 ⑵ Cov (aX ,bY ) = ab Cov (X,Y ) a,b是常数 Cov(X ,Y )=E {[ X-E(X )][Y -E( Y ) ]} Cov (X,Y )=E( XY ) -E(X)E(Y)可见,若 X与Y独立, Cov (X,Y )= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式(性质 4) 由协方差的定义及期望的性质,可得 Cov (X,Y )=E {[ X-E(X )][Y-E(Y ) ]} =E( XY )-E(X)E(Y )-E(Y)E (X)+ E(X)E(Y ) =E( XY )-E(X)E(Y)即若X 1,X 2, …,X n两两独立,,上式化为 D(X+Y )= D(X )+D(Y )+ 2 Cov (X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系),(2)()( 11 ji ni ni ji iiXX Cov XDXD?????????????? ni ni iiXD XD 11)()(常用上式计算不互相独立的随机变量和的方差. 设二维随机变量( X,Y)的概率密度为????????其他, ,),(0 1 1 22yxyxf?试求 cov(X, Y), 并讨论 X与Y是否相互独立。解)(,)(xfxXfx X X 时, 当时, 当101?????????? 2211 21 21 xxx dy,??????????其他, ,)(0 11 2 2xxxf X?所以同理, ????????其他, ,)(0 11 2 2yyyf Y?显然, ),()(),(yfxfyxf Y X??所以 X与Y 不相互独立。