文档介绍：三角形内角嵌入不等式
三角形内角嵌入不等式, 在不至于引发歧义情况下简称嵌入不等式。 该不等式指出, 若A、 B、 C是一个三角形三个内角, 则对任意实数 x、 y、 z, 有:
算术-几何平均值不等式
在数学中, 算术-几何平均值不等式是一个常见而基础不等式, 表现了两类平均数: 算术平均数和几何平均数之间恒定不等关系。 设为 n 个正实数, 它们算术平均数是, 它们几何平均数是 。 算术-几何平均值不等式表明, 对任意正实数, 总有:
等号成立当且仅当 。
算术-几何平均值不等式仅适适用于正实数, 是对数函数之凹性表现, 在数学、 自然科学、 工程科学和经济学等其它学科全部有应用。
算术-几何平均值不等式常常被简称为平均值不等式（或均值不等式）, 尽管后者是一组包含它不等式合称。
例子
在 n = 4 情况, 设: , 那么
.
可见。
历史上证实
历史上, 算术-几何平均值不等式拥有众多证实。 n = 2情况很早就为人所知, 但对于通常 n, 不等式并不轻易证实。 1729年, 英国数学家麦克劳林最早给出了通常情况证实, 用是调整法, 然而这个证实并不严谨, 是错误。
柯西证实
1821年, 法国数学家柯西在她著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法证实[1]:
命题Pn: 对任意 n 个正实数,
1. 当 n=2 时, P2 显然成立。
2. 假设 Pn 成立, 那么 P2n 成立。 证实: 对于2n 个正实数,
3. 假设Pn成立, 那么Pn − 1成立。 证实: 对于n - 1 个正实数, 设, , 那么因为Pn成立, 。
不过 , , 所以上式恰好变成
综合以上三点, 就能够得到结论: 对任意自然数 , 命题 Pn 全部成立。 这是因为由前两条能够得到: 对任意自然数 k, 命题 全部成立。 所以对任意 , 能够先找 k 使得 , 再结合第三条就能够得到命题 Pn 成立了。
归纳法证实
使用常规数学归纳法证实则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）第二卷中给出[2]:
由对称性不妨设 xn + 1 是 中最大, 因为 , 设 , 则 , 而且有 。
依据二项式定理,
于是完成了从 n 到 n + 1 证实。
另外还有更简练归纳法证实[3]:
在 n 情况下有不等式 和 成立, 于是:
所以 , 从而有。
基于琴生不等式证实
注意到几何平均数 实际上等于 , 所以算术-几何平均不等式等价于:
。
因为对数函数是一个凹函数, 由琴生不等式可知上式成立。
另外还有基于排序不等式、 伯努利不等式或借助调整法、 辅助函数求导和加强命题证实。
推广
算术-几何平均不等式有很多不一样形式推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”算术平均数和几何平均数之间有不等式, 加权算术平均数和几何平均数之间也有不等式。 设 和 为正实数, 而且 , 那么:
。
加权算术-几何平均不等式能够由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式能够看成是一维向量系数平均数不等式。 对于二维矩阵, 一样有类似不等式: 对于系数全部是正实数矩阵
设 , , 那么有:
也就是说: 对 k 个纵列取算术平均数, 它们几何平均大于等于对 n 个横行取 n 个几何平均数算术平均。
极限形式
也称为积分形式: 对任意在区间[0,1]上可积正值函数 f, 全部有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后, 将两边黎曼和中 n 趋于无穷大后得到形式。
伯努利不等式
数学中伯努利不等式是说: 对任意整数, 和任意实数,
;
假如是偶数, 则不等式对任意实数x成立。
能够看到在n = 0,1, 或x = 0时等号成立, 而对任意正整数和任意实数, , 有严格不等式:
。
伯努利不等式常常见作证实其它不等式关键步骤。
[编辑] 证实和推广
伯努利不等式能够用数学归纳法证实: 当n = 0,1, 不等式显著成立。 假设不等式对正整数n, 实数时成立, 那么
。
下面是推广到实数幂版本: 假如x > − 1, 那么:
若或, 有;
若, 有。
这不等式能够用导数比较来证实:
当r = 0,1时, 等式显然成立。
在上定义f(x) = (1 + x)r − (1 + rx), 其中, 对x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r, 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。 分情况讨