文档介绍：§5 量 纲 分 析 法 建 模
量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出在物理领域中建立数学模型一个方法, 它在经验和试验基础上利用物理定律量纲齐次标准, 确定各物理量之间关系．本节在一个例子引导下先介绍量纲齐次标准和著名BuckinghamPi定理, 然后用这个定理讨论一个力学问题建模方法, 并介绍量纲分析在物理模拟中应用．最终给出一个简化模型方法——无量纲化．
一、 量纲齐次标准
很多物理量是有量纲, 有些物理量量纲是基础, 另部分物理量量纲则可 以由基础量纲依据其定义或一些物理定律推导出来．比如在研究动力学问题时常把长 度、 质量m和时间t量纲作为基础量纲, 记以对应大写字母, 和．于 是速度v、 加速度a量纲能够根据其定义分别用和表示, 力f量纲则应依据牛顿第二定律用质量和加速度量纲乘积表示．有些物理常数也有量纲, 如万有引力定律中引力常数, 由 可知其量纲应从力f、 距离r和质量m量纲求出, 为··=．通常, 一个物理量q量纲记作[q], 于是上述各物理量量纲为[l]=L, [m]=M, [t]=T, [v]=LT-1, []=LT-2, [f] =LMT-2, [k]= .
对于无量纲量, 我们记[]=1(因为可视为[]=)．
用数学公式表示一个物理定律时, 等号两端必需保持量纲一致, 或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次标准来寻求理量之间关系[6,20]．在叙述关键定理之前先看一个例子．
单摆运动 这是一个熟知物理现象, 质量为m小球系在长度为线一端, 稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下(g为重力加速度)做往复摆动, 忽略阻力．求摆动周期t表示式．
在这个问题中出现物理量有t, m, l, g, 设它们之间相关系式
其中, , 是待定常数, 是无量纲百分比系数．取(1)式量纲表示式即
将[t]=T, [m]=M, [l]=L, [g]=LT-2代入得
根据量纲齐次标准应有
(3)解为=0, =1/2, =-1/2, 代人(1)式得 （4）
(4)式和用力学规律得到结果是一致．
为了导出量纲分析建模通常方法, 将这个例子中各个变量之间关系写作
进而假设(5)式形如 （6）
其中～是待定常数, 是无量纲常数．将t, m, l, g量纲用基础量纲L, M, T表示为,,,, 则(6)量纲表示式可写作(注意到)
即 （7）
（8）
量纲齐次标准给出
此方程组有一个基础解 （9）
代回(6)式得 （10）
而(5)式等价于 （11）
(10), (11)两式就是用量纲齐次标准从(5)式得到结果．前面给出(4)式只是它特殊表示形式.
把从(5)式到(11)式推导过程通常化, 就是著名Pi定理．
定理 设有m个物理量,
是和量纲单位选择无关物理定律*,是基础量纲, n≤m．
量纲可表为 (13)
矩阵称量纲矩阵．若A秩 (14)
设线性齐次方程组(y是m维向量) (15)
m-r个基础解为 (16)
则
为m-r个相互独立无量纲量．且
和(12)式等价．F表示一个未定函数关系．
[航船阻力]
长、 吃水深度h船以速度v航行, 若不考虑风影响, 那么航船受阻力f除依靠于船诸变量, h, v以外, 还和水参数——密度、 粘性系数, 和重力加速度g相关．下面用量纲分析方法确定阻力f和这些物理量之间关系．
我们根据Pi定理中(12)～(18)式步骤进行．
1．航船问题中包含物理量有: 阻力f, 船长l, 吃水深度h, 速度v, 水密度, 水粘性系数, 重力加速度g, 要寻求关系式记作
(19)
2．这是一个力学问题, 基础量纲选为L, M, T．上述各物理量量纲表为
其中量纲由基础关系得到．其中p是压强(单位面积受力), 所以;v是流速, x是尺度, 所以．
而且有n=3<m=7．
3．由(20)立即可写出量纲矩阵
而且计算