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文档介绍：第三节 量纲分析法
量纲分析是20世纪初提出, 在物理领域中建立数学模型一个方法, 它是在经验和试验基础上, 利用物理定律量纲齐次标准, 确定各物理量之间关系。
量纲齐次标准和Pi定理
很多物理量是有量纲, 有些物理量量纲是基础, 另部分物理量量纲则能够由基础量纲依据其定义或一些物理定律推导出来。 比如在动力学中, 把长度, 质量和时间量纲作为基础量纲, 记为
; 而速度量纲可表示为.
在国际单位制中, 有7个基础量: 长度、 质量、 时间、 电流、 温度、 光强度和物质量, 它们量纲分别为L、 M、 T、 I、 、 J、 和N; 称为基础量纲。 任一个物理量q量纲全部能够表成基础量纲幂次之积,

量纲齐次性标准: 用数学公式表示一个物理定律时, 等式两端必需保持量纲一致。
量纲分析就是在确保量纲一致标准下, 分析和探求物理量之间关系; 先看一个具体例子, 再给出量纲分析通常方法。
例3—1: 单摆运动, 质量为小球系在长度为线一端, 线另一端固定, 小球偏离平衡位置后, 在重力作用下做往复摆动, 忽略阻力, 求摆动周期表示式。
解: 在这个问题中相关物理量有设它们之间相关系式
　　　　　　　　　　　　　　 ---------------（）
其中为待定常数, 入为无量纲百分比系数, 取（3．1）式量纲表示式有
整理得: 　 --------------（）
由量纲齐次标准应有　
　　　　 　 ---------------（）
解得: 代入（3．1）得 -------（）
（）式和单摆周期公式是一致
下面我们给出用于量纲分析建模 Buckingham Pi定理,
定理: 设n个物理量之间存在一个函数关系
　　 --------------（）
为基础量纲, 。 量纲可表示为　　　　

矩阵称为量纲距阵, 若则（）式和下式等价,
其中F为一个未定函数关系, 为无量纲量, 且可表示为
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　-----------()
而为线性齐次方程组基础解向量.
利用Pi定理建模, 关键是确定和该问题相关多个基础量纲无量纲量,
作为量纲分析法应用, 下面我们介绍航船阻力建模.
3．2 航船阻力,
长吃水深度船以速度航行, 若不考虑风影响, 航船受到阻力除依靠于船诸变量以外, 还和水参数——密度P, 粘性系数, 和重力加速度g相关。
我们利用pi定理分析f和上述物理之间关系
1． 航船问题中包含物理量及其量纲为
我们要寻求关系式为
---------------（）
这些物理量中包含到基础量纲为L、 M、 T
2． 写出量纲距阵

3． 解齐次线性方程组 , 可得 个基础解向量