复数知识点总结.docx

文档介绍：复数
一、复数的概念
虚数单位 i
（ 1） 它的平方等于
1，即 i2
1；
2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．
（ 3） i 的乘方： i 4n 1,i 4 n 1 i,i 4n 2 1,i 4n 3 i, n N* ，它们不超出 b i 的形式．
复数的定义
形如 a b i(a, b
R ) 的数叫做复数，
a,b 分别叫做复数的实部与虚部
3.
复数相等
a
b i
c
d i ，即 a
c,b
d ，那么这两个复数相等
4.
共轭复数
z
a
bi时， z
a
b i ．
性质： z
z ； z1
z2
z1 z2
； z1 z2
z1 z1 ； ( z1 )
z1
( z2 0);
z2
z2
二、复平面及复数的坐标表示
1. 复平面
在直角坐标系里，点 z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z a bi 可用点 Z( a,b) 来
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴为实轴， y 轴出去原点的
部分称为虚轴．
复数的坐标表示
复数的向量表示
复数的模

Z (a,b)
向量OZ．
在复平面内， 复数 z
a
bi 对应点 Z (a,b) ，点 Z 到原点的距离
OZ 叫做复数 z 的模，
记作 z ．由定义知， z
a2
b2 ．
三、复数的运算
1
1. 加法
( a
b i )
(c
d i )
a( c )
b(
．d
几何意义：
设 z
a
b i 对应向量 OZ
1
(a,b)
， z
2
c
d i 对应向量 OZ
2
(c, d ) ，则
1
z1 z2 对应的向量为 OZ
OZ
2
(a c,b
d ) ．因此复数的和可以在复平面上用平行四边
1
形法则解释．
2. 减法
( a
b i)
( c
d i)
( a
c)
(b
d )i
．
几何意义：
设 z1
a
b i 对应向量 OZ1
(a,b) ， z2
c
d i 对应向量 OZ2
(c, d ) ，则
z1 z2 对应的向量为 OZ1
OZ2
Z2 Z1
(a
c, b d ) ．
z1 z2
(a
c)
(b
d )i
(a
c)2
(b d )2 表示 Z 、 Z 两点之间的距离，也