二次型标准形.ppt

文档介绍：二次型标准形
二次型标准形二次型标准形变成只含有平方项的标准形，这就是要使 2
要使二次型
经非奇异线性变换 X = CY
变成只含有平方项的标准形，这就是要使
为对角矩阵.
也就是要使
2
矩阵. 即可以找到一个非奇异矩阵C, 使得
任意一个实二次型都可以通过可逆的线性
变换化为标准形.
成为对角矩阵.
用矩阵语言, ：
那么怎么样寻找一个非奇异矩阵C, 使得二次型 f 的
矩阵成为对角矩阵呢？即将二次型 f 化为标准形呢？
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下面介绍将任意二次型化成标准形的拉格朗日顺序
配方法.
例1 用配方法化二次型
为标准形, 并求出相应的可逆线性变换矩阵..
解
首先集中x1的各项配方, 再集中x2的各项配方,
如此继续下去, 直到配成完全平方和为止.
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所以
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即线性变换X = CY，其线性变换矩阵为
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
例2 用配方法化二次型
为标准形, 并求出所用的可逆的线性变换.
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如此继续下去, 直到配成平方和为止.
解
首先集中x1的各项配方, 再集中x2的各项配方，
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其中变换矩阵为
从而所用线性变换X = CY 是可逆的.
例3 用配方法化二次型
为标准形,并求出相应的可逆线性变换矩阵.
则此变换将原二次型 f 化为标准形
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解
f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性
变换，令
用矩阵表示为X = C1Y，其中
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再配方
再作第二次可逆线性变换
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