文档介绍：第一章线性方程组
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aux+aux+.+anx,=b,
对一般线性方程组
21x1+a22X2
b2
当m=n,且系数行列式D≠0时,我们知方程组(1)有唯一解,
其解出Ganr法则耸出但是者此时=n祜雹楷僻
此方程组(1)的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
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组(1)进行研究。
在中学代数中,我们曾用加减消元法和代入消元法来1
元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解
组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组
解方程组:把未知量系数和常数按原顺序写成下表
x3
131
4x1+2x2+5x3=4
242
54
2
+2x3=6
把第1个方程分别乘以(-2)
把第1分别乘以(-2)
(-1)加到第2个、3个方程
(-1)加到第2、3行
2
x1-x2
+3x2=1
4x
x2-x3
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把第3个方程分别乘以(-4)
把第3行分别乘以(-4)
1加到第2个、1个方程
加到第2、1行
2
+2x3=6
2026
003
把第2个方程与第3个
方程互换位置
把第2行与第3行互换位置
d
2
2026
01-15
x3
003-18
分别把第1个方程和第3个
分别用和
方程乘以和
乘第1行和第3行
3
10
001-6
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把第3个方程分别乘以
分别把把第3行乘以
(-1)、1加到第1、2个方程
(-1)、1加到第1、2行
x
1009
010-1
x3
00
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三
种变换
用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上
用一个非零数乘一个方程的两边
互换两个方程的位置
这三种变换总称为线性方程组的初等变换。
如果把方程组写成“数表”(矩阵)的形式,则解方程组就相
当于对“数表”(矩阵)进行以下三种变换
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上
个非零数乘矩阵的某一行;
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互换两行的位置。
这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
从上面可以看出,解线性方程组的问题可以转化成对
程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应
“变换”,从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛
具体的背景,下面引进矩阵的定义和它的初等变换。
定义1(矩阵):数域F上m×n个元素排成形如下数表
a
称为数域F上的m行n列
矩阵,简称m×n阶矩阵,记为An或(a)。an称为矩阵的
素,i称为元素4所在行的行下标,j称为元素an所在列的
m=n时,n×n矩阵亦称为方阵。
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若A
00p
l
L
则
2称为矩阵A
行列式,记为|A
注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。
定义2(矩阵的初等变换):以下三种变换称为矩阵的初等变换
用一个数乘矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上
(消法变换
用一个非零数乘矩阵的某一行(列);(倍法变换
交换矩阵中某两行(列)的位置。(换法变换)
为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组,我们要解决以
下问题:一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与
解。
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定理1:方程组的初等变换把一个线性方程组变Q个
与它同解的线性方程组
证明:对第(1)种初等变换证明之
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵,称为方
组的系数矩阵,记为A。由方程组未知量系数和常数组成的知
阵称为方程组的增广矩阵,记为A
对方程组进行初等变换,其实质就是对方程组中未知量系数和
常数项组成的矩阵A(称为增广矩阵)进行相应的初等变换,
,我们有
定理2:对线性方程组(1)的增广矩阵A进行行初等
变换化为B,则以B为增广矩阵的线性方程组(2)与(1)同
解。
由前面的讨论知,对一个线性方程组施行初等变换,相当
于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换,那么我们要问:
行初等变换下可以化为怎样的简单形式?
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定理3:一个m×n矩阵A,通过行初等变换及
变换可化为一下阶梯形
B=000
000
000
00
0
这里