文档介绍：圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点
一、 双曲线的定义：
1. 第一定义：
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1-PF2=2a<F1F2（a为常数））
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
2. 第二定义：
动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线l叫做双曲线的准线
二、
双曲线的标准方程：
x2y2
2-2=1（a＞0，b＞0）(焦点在x轴上)； ab
y2x2
2-2=1（a＞0，b＞0）(焦点在y轴上)； ab
1. 如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y
轴上. a不一定大于b.
x2y2x2y2
2. 与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2-2=1 aba+kb-k
x2y2
3. 双曲线方程也可设为：-=1(mn>0) mn
x2y2
例题：已知双曲线C和椭圆+且过P(3,4)点，求双曲线C的=1有相同的焦点，169
三、 轨迹方程。 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：
1 点与双曲线：
22x0y0x2y2
点P(x0,y0)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)的 k³，k£-，或k不存在时直线与双曲线没有交点； aa
2) m¹0时，
k存在时，
若b2-a2k2=0
bk=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； a
若b2-a2k2¹0，D=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)
) =4a2b2(m2+b2-a2k 2
D>0时，m2+b2-a2k2>0，直线与双曲线相交于两点； D<0时，m2+b2-a2k2<0，直线与双曲线相离，没有交点；
m2+b2
22222直线与双曲线有一个交点； D=0时m+b-ak=0，k=2a
若k不存在，-a<m<a时，直线与双曲线没有交点； m>a 或m<-直线与双曲线相交于两点；a
3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：
x2y2
设直线l:y=kx+m过定点P(x0,y0)，双曲线2-2=1(a>0,b>0) ab
1).当点P(x0,y0)在双曲线（y0¹0）或k<-或k不存在，ay0aay0a直线与双曲线在一支上有两个交点； 当y0¹0时，
bk=±或k不存在，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)； a
bbk>或k<-时直线与双曲线的一支有两个交点； aa
bb； -<k<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）aa
3).当点P(x0,y0)在双曲线外部时：
当P(0,0)时，
bb<k<，直线与双曲线两支各有一个交点； aa
bbk³或k£或k不存在，直线与双曲线没有交点； aa
当点m¹0时，
-
k=时，过点P(x0,y0)的直线与双曲线相切 b k=±时，直线与双曲线只交于一点； a
几何法：直线与渐近线的位置关系
四、 y2例：过点P(0,3)的直线l和双曲线C:x-=1，仅有一个公共点，求直线l的方4程。 双曲线与渐近线的关系： 2
x2y2
1. 若双曲线方程为2-2=1(a>0,b>0) ab
x2y2bÞ渐近线方程：2-2=0Ûy=±x aba
y2x2
2. 若双曲线方程为2-2=1（a＞0，b＞0） ab
y2x2aÞ渐近线方程：2-2=0y=±x abb
3. 若渐近线方程为y=±xÛb
axy±=0 ab
x2y2
Þ双曲线可设为2-2=l, l¹0. ab
x2y2
4. 若双曲线与2-2=1有公共渐近线 ab
x2y2
则双曲线的方程可设为2-2=l（l>0，焦点在x轴上，l<0，焦点在y轴ab
五、 上） 双曲线与切线方程：
xxyyx2y2
1. 双曲线2-2=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02-02=1. abab
x2y2
2. 过双曲线2-2=1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0