文档介绍：等差数列的前n项和
问题提出
从一加到一百有什么方法加最快呢？
高斯在10岁时就巧妙地求出了n=100时的结果.
S100=1 +2 +3 +4 +…+98+99+100
=100+99+98+97+…+3 + 2+ 1
这两个等式上、下对应的和均为101，所以.
2S100=101+101+101+…+101+101+101
因为有100个101，所以.
2S100=101×100=10100
S100=5050
问题提出
有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?
根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列:
… … …
…
1,2,3,4,…
设共摆放了n层,能构成三角形垛的圆木料数为Sn,则:
Sn=1+2+3+4+…+n
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
那么根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成：
再把项的次序反过来，又可以写成
①
②
把①，②等号两边分别相加，得
n个
于是，首项为a1 ，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和
③
这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
将
④
代入③式 ，得
特别地，当a1 =1， d =1时，n个连续正整数的和
圆木料问题，即转化为求满足
的最大自然数n
此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.
例7：求n个正奇数的和.
解: 由等差数列前n项和公式,得
也可用面积图来表示
例8：在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,:
(1)第9圈共有多少块石板?
(2)前9圈一共有多少块石板?
解(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为{an} ,由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9.
由等差数列的通项公式,得第9圈有石板
(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板
答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.