文档介绍：导数及其应用
忻州师院附属中学 王志宏
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2021/1/14
可导函数的单调性与其导数的关系：
当函数y=f(x)在某个区间可导时，如果f ’(x)>0,则f(x)为增函数；如果f ’(x)<0,则f(x)为减函数 ；
但反过来，函数f(x)在某个区间为增（减）函数，f（x)在此区间的某个点处的导数可能为0，如f(x)=x3,所以在求f(x)的单调区间时，我们一般是解不等式f ‘(x)≥0(或f ‘(x) ≤0）
可导函数在某点取得极值的必要条件是：
在此点处的导数为0
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高考预测 ：由于导数应用的广泛性，并为函数性质的研究提供了一般的方法，因此，使其在考察中的位置更为重要，这部分命题多与函数、解析几何、不等式有关，要注意知识的全面性和综合应用，考题将在求函数的导数，用导数几何意义求曲线的切线的斜率和方程，用导数判断或证明单调性，求函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面拟题
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题型
求切线方程
方程的根
函数的单调性
求函数的最值
解不等式
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例1（04浙江）设f’(x)是f(x)的导函数，y= f’(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是 （ ）
x
y
O
1
2
y=f’(x)
x
y
O
1
2
D
x
y
O
1
2
C
x
y
O
1
2
A
x
y
O
1
2
B
函数的单调性
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例2 函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b<0时,
f(x) 是 （ ）
A 增函数 B 减函数
C 常数 D 既不是增函数也不是减函数
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例3（04湖南）如图，已知曲线C1：y=x3（x 0），与曲线C2：
y=-2x3 +3x（x 0），交于点O、A，
直线x=t(0<t<1)与曲线C1 、C2 分别相
交于点B、D
（1）写出四边形ABOD的面积S与t的
函数关系S=f(t);
（2）讨论f(t) 的单调性，并求f(t)的最大值
x
y
O
B
A
D
C2
C1
t
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例4 (全国卷Ⅱ) 若函数 在区间
（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，试求
实数a的取值范围
解：
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例5（全国卷Ⅰ）已知函数 在R上是减函
数，求a的取值范围
解：求函数f(x)的导数：f‘(x)=3ax2+6x-1.
(1) 当f‘(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.
3ax2+6x-1<0 (x∈R) a<0,且Δ=36+12a<0 a<-3
所以，当a<-3时，由f‘(x)<0知f(x) (x∈R)是减函数；
(2) 当a=-3时，
由函数y=x3在R上的单调性，可知
当a=-3时， f(x) (x∈R)是减函数；
(3) 当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f‘(x)>0.
所以，当a>-3时， f(x) (x∈R)是不是减函数.