文档介绍：例3 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式
相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。
现考察这些量的无量纲乘积
的量纲为
由于 是无量纲的量，故应有：
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量纲分析法建模
此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：
而万有引力定律则可写 成f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：π1=g(π2)，即
万有引力定律
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量纲分析法建模
（Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表
示为 f（π1，π2…）=0时才是量纲齐次的，其中 f是某
一函数，π1，π2…为问题所包含的变量与常数的无量
纲乘积。
设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基e1,……,em，并将其扩充 为k维欧氏空间的一组基e1,……,em, em+1,……ek 令πi=g-1(ei), i=1,…,k,显然，π1，…, πm是无量纲的，而πm+1,…, πk是有量纲的（若k>m）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写 成f(π1，…, πm)=0时才是量纲齐次的，定理证毕。
证 设x1,…,xk为方程中出现的变量与常数, ,对这些变量与常数的任一乘积 ,令 函数g建立了xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与k维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有n个,它们 为y1,…, 该xi的乘幂,设此乘幂的量纲为 令
易见dg-1是k维欧氏空间 到n维欧氏空间的一个变换，这里的g-1为g的逆变换。
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量纲分析法建模
例4（理想单摆的摆动周期）
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻
尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的
左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间
的 关系。
θ
l
mg
考察 ， 的量纲为MaLb+dTc-2b若 无量纲，则有
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量纲分析法建模
此方程组中