文档介绍：连续系统频域（傅里叶变换）分析的基本思想
线性非时
变系统
(零状态)
为输出频谱； 为输出原函数。以上就是傅里叶分析的基本思想。
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第五章 连续系统的S域分析
2021/1/15
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连续系统的s域分析(2)
傅里叶变换的问题
傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但
在系统分析方面有不足之处：
◆ 对时间函数限制严， 是充分条件。不少函数不能直接按定义求，
如增长的指数函数 eat a>0，傅里叶变换就不存在。
◆ 不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。
◆ 求傅里叶反变换也比较麻烦。
第五章 连续系统的S域分析
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2021/1/15
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连续系统的s域分析(2)
§ 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
用 e-t f (t)来保证傅里叶积分收敛
令 s=+j 称为复频率
复傅里叶变换（双边拉普拉斯变换）（象函数）
拉普拉斯反变换（原函数）
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连续系统的s域分析(2)
拉氏变换与傅氏变换表示信号的差别
§ 拉普拉斯变换
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连续系统的s域分析(2)
例一、求 f (t)= e-a t(t)的拉普拉斯变换， 其中：a >0
解：
为保证收敛，有 a+＞0，故收敛域为Re[s] =＞－a
收敛域
二、收敛域
（ROC）：那些使得 拉普拉斯变换存在的s值的范围。
解：
为保证收敛，有 a+<0，故收敛域为 Re[s]=<-a
例二、求 f (t)= -e-a t(-t)的拉普拉斯变换， 其中：a >0
收敛域
§ 拉普拉斯变换
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连续系统的s域分析(2)
例三、求 f (t)= e- t(t)+ e-2t(t)的拉普拉斯变换。
解：
第一项的收敛域 Re[s]＞－1，
第二项的收敛域 Re[s]＞－2，
为保证收敛，取公共收敛域，
其收敛域为 Re[s]＞－1。
收敛域
§ 拉普拉斯变换
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连续系统的s域分析(2)
说明几点
f (t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。
在实际存在的有始信号，只要取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。
两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见例１和例２。
如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j轴，那么傅里叶变换也不收敛。
f (t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。
§ 拉普拉斯变换
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连续系统的s域分析(2)
收敛域的若干特性
f (t)是有限长的，则收敛域是整个S平面，Re[s]＞－∞。
f (t)乘指数增长或指数衰减信号，因为时间有限，总是绝对可积的。故在整个Ｓ平面内，f (t)e-t绝对可积。
f (t)为右边信号，则收敛域是 Re[s]＞0，0＞0
若 f (t)e-0t绝对可积，则1＞0；f (t)e-1t也绝对可积。因为当t- 时，e-t增长。但当t<T1 时，f (t)=0。故在Re[s]＞0的区域内，f (t)e-t绝对可积。
收敛域
§ 拉普拉斯变换
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连续系统的s域分析(2)
f (t)为左边信号，则收敛域是 Re[s]＜0，0＜0。
f (t)为双边信号，则收敛域是S平面的一条带状区域。证明同上。
若 f (t)e-0t绝对可积，则1<0；f (t)e-1t也绝对可积。因为当t 时，e-t增长。但当t >T2时，f (t)=0。故在Re[s]<0的区域内，
f (t)e-t绝对可积。
收敛域
§ 拉普拉斯变换
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连续系统的s域分析(2)
§ 拉普拉斯变换
三、（单边）拉普拉斯变换
对于因果信号（有始信号），
单边拉普拉斯变换
（拉普拉斯变换）
单边拉氏反变换
简记：f (t)F(s)
记 F(s) = [f (t)]
记 f (t) = -1[F(s)]
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