文档介绍：§ 逻辑推理的基本思想
在数学中和其他自然科学中，经常要考虑从某些前提A1，A2…An能够推导出什么结论。
例如从分子学、原子学，能够得到什么结论等等。我们一般地要对“假设”的内容作深入分析，并研究其间的关系，从而得到结论。在数学及日常生活中，我们常常要决定一个陈述是否可以从另一个陈述推出，这就是“逻辑推理”问题，在给定这个概念形式定义之前，我们先举一些例子进行说明。
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逻辑推理与永真公式的1
例如：如果天气干旱则粮食欠收。
又设；当粮食欠收时大多数人是不幸的。
再设；天气干旱。
那么可以指出大多数人是不幸的。
解：为了指出上述结论，现将陈述句表示如下：
P：表示天气干旱，
S：表示粮食丰收，
U：表示大多数人是幸运的。
例子中有四个陈述句，它们是：
如果天气干旱，则粮食欠收；
如果粮食 欠收，则大多数人是不幸的；
天气是干旱；
大多数人是不幸的；
将它们符号化成为：
P → ┐S
┐S → ┐U
P
┐U
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逻辑推理与永真公式的1
现在我们指出当P→┐S，┐S→┐U，P均为真时┐U为真，即（P→┐S）∧（┐S→┐U）∧P为真时，┐U为真，我们将其化为范式：
（（P→┐S）∧（┐S→┐U）∧P）
=（P∧（┐P∨┐S）∧（S∨┐U）
根据等价公式
=（（（P∧┐P）∨（P∨┐S））∧（S∨┐U））
根据分配律及结合律
=（（F∨（P∨┐S））∧（S∨┐U））
=（P∧┐S）∧（S∨┐U）
=（P∧┐S∧S）∨（P∧┐S∧┐U）
= P∧┐S∧┐U
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逻辑推理与永真公式的1
故有如下逻辑结论，（（P→┐S）∧（┐S→┐U）∧P）为真，那么（P∧┐S∧┐U）为真，而（P∧┐S∧┐U）为真时，必须P，┐S，┐U均为真，因此我们得到U是假的，此时，逻辑上称┐U是（P→S），（S→┐U），与P的逻辑结果，其形式定义如下：
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逻辑推理与永真公式的1
定义：设A和C是两个命题公式，当且仅当 A→C为一重言式，即A C，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑地推出。
这个定义可以推广到有n个前提的情况
定义：设有命题公式序列A1…An及命题公式，如果对任何使A1…An为成真的指派，B也为真，则称B为A1…An的逻辑推论，或称B是A1…An的一个逻辑结果，记为A1…An B，其中A1…An叫做B的前提或假设。
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逻辑推理与永真公式的1
判别有效结论的过程就是论证过程，论证的方法千变万化，但基本方法只有三种：即真值表法、直接证法和间接证法。
下面分别举例说明：
（1）真值表法
例如：如果张老师来了，这个问题可以得到解答。
如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总之，张老师或李老师来了这个问题都可以得到解答。
解：设P：张老师来了。
Q：李老师来了。
R：这个问题可以得到解答。
上述语句可以表述命题如下：
（P→R）∧（Q→R）∧（P∨Q） R
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逻辑推理与永真公式的1
列出真值表如下：
P
Q
R
P→R
Q→R
P∨Q
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
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逻辑推理与永真公式的1
从真值表看到，P→R、Q→R、P∨Q的真值都为T的情况为第一行，第三行和第五行，而在这三行中R的真值均为T。故：
（ P→R）∧（Q→R）∧（P∨Q） R
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逻辑推理与永真公式的1
（2）直接证明法
例：┐（┐P∧（┐Q∨┐R））=（P∨Q）∧（P∨Q）
证明：┐（┐P∧（┐Q∨┐R））
=┐（┐P∧┐（Q∧R））
根据┐（P∧Q