2021年：数据拟合A.ppt

文档介绍：§ 向量和矩阵范数
向量范数 ( vector norms )
对任意
Def 1：Rn空间的向量范数 || · || ,对任意 满足下列条件
常用向量范数：

=
=
n
i
i
x
x
1
1
|
|
||
||
v

=
=
n
i
i
x
x
1
2
2
|
|
||
||
v
|
|
max
||
||
1
i
n
i
x
x



=
v
1
：数据拟合A
2021/1/15
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得 ,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价.
Theorem
Rn 上一切范数都等价.
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：数据拟合A
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Def 2:设｛xk｝是Rn上的向量序列，
令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立，
那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ，
若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
对任意一种向量范数‖·‖而言，向量
序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
Theorem
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：数据拟合A
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矩阵范数 ( matrix norms )
Def 3:对任意 ,称|| · || 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| · ||满足(1)-(3)：
对任意
(4) || AB ||  || A || · || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数
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：数据拟合A
2021/1/15
Ex:
设A＝(aij)∈M. 定义
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
从而
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：数据拟合A
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相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖
（2）矩阵范数与向量范数相容
设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是
:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
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：数据拟合A
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常用的算子范数：
由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A  Rnn 的 p 范数:
则
（行和范数）
（列和范数）
（谱范数 ( spectral norm ) ）
对方阵 和 有:
(向量|| · ||2的直接推广)
Frobenius范数:
( operator norm ),又称为从属的矩阵范数:
算子范数
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Theorem
对任意算子范数 || · || 有:
证明：
由算子范数的相容性，得到
将任意一个特征根  所对应的特征向量 代入
Theorem
若A对称，则有:
证明：
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数，
故得证。
对某个 A 的特征根 成立
所以2-范数亦称为谱范数
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Theorem
若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有
①.
可逆；
②.
证明：
① 若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得

②
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Error Analysis for Linear system of Equations
线性方程组的性态（误差分析）
思考:求解 时, A 和 的误差对解 有何影响？
 设 A 精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即
绝对误差放大因子
又
相对误差放大因子
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