文档介绍：一、平面方程三、曲面面积机动目录上页下页返回结束曲面面积的计算二、曲面的切平面与法线? zyx o 0M n (一)平面的点法式方程),,( 0000zyxM 设一平面通过已知点且垂直于非零向 0)()()( 000??????zzCyyBxxA M 称上式为平面?的点法式方程, 则该平面?的方程为: 法向量. 量,),,(CBAn?的为平面称?n 机动目录上页下页返回结束一、平面方程 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 0 x x y y z z x x y y z z x x y y z z ? ??? ???? ??过三点( , , ) ( 1, 2, 3) k k k k M x y z k ?的平面方程为机动目录上页下页返回结束(二)平面的三点式方程当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. ),0,0(,)0,,0(,)0,0,(cRbQaP1???c zb ya x 时,)0,,(?cba 平面方程为 P o zyx RQ 机动目录上页下页返回结束(三)平面的截距式方程(四)平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减, 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般 0????DzCyBxA 任取一组满足上述方程的数,,, 000zyx 则0)()()( 000??????zzCyyBxxA 0 000????DzCyBxA 显然方程②与此点法式方程等价,)0( 222???CBA ②),,(CBAn?的平面, 因此方程②的图形是法向量为方程. 机动目录上页下页返回结束外一点,求),,( 0000zyxP0????DzCyBxA 补: 设222 000CBA DzCyBxAd??????是平面到平面的距离 d . 0P (点到平面的距离公式) 机动目录上页下页返回结束: ( , , ) 0 F x y z ? ?二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面 0 0 0 ( , , ) M x y z 为其上定点。 M ? T 机动目录上页下页返回结束?上过点 M的任何曲线在该点的切线都在同一平面,此平面称为?在该点的切平面. 曲面?在点 M 的法向量法线方程 0 0 0 x x y y z z ? ??? ? 0 0 0 0 ( , , ) ( ) x F x y z x x ? 0 0 0 0 ( , , ) ( ) y F x y z y y ? ? 0 0 0 0 ( , , )( ) 0 z F x y z z z ? ??切平面方程 0 0 0 ( , , ) x F x y z 0 0 0 ( , , ) y F x y z 0 0 0 ( , , ) z F x y z M ?Tn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) x y z n F x y z F x y z F x y z ?复习目录上页下页返回结束空间光滑曲面: ( , ) z f x y ? ?( , ,1) x y n f f ??????,, :为法线与各坐标轴的夹角,1 cos ,1 cos 2222yx yyx xff fff f?????????? 221 1 cos yxff????)(),()(),( 0000000yyyxfxxyxfzz yx?????1),(),( 000 000 0??????zzyxf yyyxf xx yx?M Ad z?d n 二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D上的投影为 d?, (称为面积元素) 则?机动目录上页下页返回结束DyxyxfzS??),(,),(:),,(zyxMx y zSo ? M n ??dAd cos d????),(),(1 1 cos 22yxfyxf yx?????d),(),(1d 22yxfyxfA yx???