文档介绍：●二次型的概念
定义
叫做二次型。
含有n个自变量的二次齐次函数
如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型。
例如
是二次型
不是二次型
华南农大高数相似矩阵与二次型3
2021/1/16
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二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
一一对应
二次型可表示为矩阵形式
（A为对称矩阵）
●二次型的矩阵及其秩
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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只含平方项的二次型
对应的矩阵为对角形矩阵
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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华南农大高数相似矩阵与二次型3
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显然A是对称矩阵，
这表明对称矩阵A是二次型
的矩阵。
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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只含有平方项的二次型叫做标准形
解
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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（秩不变）
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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●二次型的标准形
定义
就称此二次型为原来二次型的标准形。
定理1
经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。
如果二次型经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型
如
经线性变换
化得标准形
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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定理2
任何二次型的标准型都存在。
是任意二次型
其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得
作正交变换
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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●化二次型为标准型
作线性变换
则得二次型的标准形
配方法
即
华南农大高数相似矩阵与二次型3
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