2021年矩阵分析.ppt

文档介绍：线性空间的公理化定义
(page3) 非空集合V称为数域F上的线性空间,如果V上定义了加法和数乘运算:
,V,+V; kF,V,k=kV
并满足下列公理:对于,,V,k,hF成立
①+=+ (交换) ②+(+)=(+)+ (结合)
③ 存在0元0V满足: +0=
④ V存在负元-V满足: +(-)=0
⑤ F乘法单位元1F满足:V,1=
⑥ k(h)=(kh) (结合)
⑦ (k+h)=k+h (分配)
⑧ k(+)=k+k (分配)
*
矩阵分析
*
线性空间例1
* 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2R}.
x,yR2,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,kx2)T
(在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实
:(1,0)T,(0,1)T.)
* 将R2推广如下:
n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnR};
n维复线性空间 Cn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnC}.
(其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是
x+y=(x1+y1,…,xn+yn)T,kx=(kx1,…,kxn)T
*
矩阵分析
*
*
矩阵分析
*
复矩阵(向量)的转置运算
*
矩阵分析
*
行向量列向量及其乘积
x= 是2维(列)向量；它的转置向量xT=(x1,x2)是2
，2维行向量的转置是2维列向量。
2维行向量与2维列向量的乘积是一个数，例如
通常，n维向量x=(x1,…,xn)T指的是n维列向量；n维行向量与n维列向量的乘积是一个数，例如
*
矩阵分析
*
线性空间例2
* 2阶实方阵集 R22={A=(aij)|aijR,1i,j2}.
A,BR22,kR,A+B=(aij+bij),kA=(kaij).
(不难证明R22满足线性空间的8条公理,故它是22=4维实线性空间,一组基是E11,E12,E21,E22)
* 将 R22 推广如下:
n2维实线性空间 Rnn={A=(aij)|aijR,1i,jn};
n2维复线性空间 Cnn={A=(aij)|aijC,1i,jn};
(其中,R,C分别为实数,复数的集合.)
mn 维实线性空间
Rmn={A=(aij)|aijR,i=1,…,m,j=1,…,n}.
*
矩阵分析
*
线性空间R22的一组基是:E11,E12,E21,E22
EijR22的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
线性空间Rmn的一组基是:{EijRmn|i=1,…m;j=1,…n}
EijRmn的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
*
矩阵分析
*
线性空间例3
* 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}.
f,gC[a,b],kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(kf)(x)=kf(x),0(x)=0,(f)(x)=f(x).
不难证明C[a,b]满足线性空间的8条公理,故它是无限维实线性空间,因为它包含下列线性无关的无穷序列:1,x,x2,x3,…
*
矩阵分析
*
第3章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
从解析几何知二平面向量
=(a1,a2)T,=(b1,b2)TR2 的内积定义为:
(,)=‖‖‖‖cos 
= a1b1+a2b2
并满足下列公式: ,,R2,kR
① (,)=(,)
② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0  =0



*
矩阵分析
*
=(a1,a2)T, =(b1,b2)T,=(c1,c2)TR2
(,)=a1b1+a2b2
并满足下列公式: ,,R2,kR
① (,)=(,) a1b1+a2b2=b1a1+b2a2
② (k,)=k(,) ka1b1+ka2b2=k(a1b1+a2b2)
③ (+,)=(,)+(,)
(a1+b1)c1+(a2+b2)c2=(a1c1+a2c2)+(b1c1+b2c2)
④ (,)0 & (,)=0  =0
=a12