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文档介绍

文档介绍:第十五章 多元函数的极限与连续性
§ 1 平面点集
设Pn xn,yn是平面点列,F0 Xo, Pn P0的充
n
要条件是 lim xn x0,且 lim yn y0.
n n
设平面点列 Pn收敛,证明 巳 有界•
判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指出它们的聚点:
(1)E
x,y
|y
x ;
⑵E
x,y
|x2
y2 1 ;
⑶E
x,y
|xy
0 ;
WE
x,y
|xy
0 ;
⑸E
x,y
|0
y 2,2 y x 2y 2 ;
⑹E
x, y
|y
1
sin , x 0 ;
x
⑺E
x,y
|x2
2
y 1 或y 0,0 x 1 ;
(8)E
x,y
| x, y均为整数•
4•设F是闭集,G是开集,证明F G是闭集,G F是开集•
5•证明开集的余集是闭集•
6•设E是平面点集•证明F0是E的聚点的充要条件是 E中存在点列 P,,满足
P, F0 n 1,2^| 且]im Pn F0.
7•用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理 •
&用致密性定理证明柯西收敛原理 •
9•设E是平面点集,如果集合 E的任一覆盖都有有限子覆盖,则称 E是紧集•证明紧
集是有界闭集•
设E是平面上的有界闭集, d E是E的直径,即
d E sup r P',P'' •
P',P'' E
求证:存在 R,F2 E,使得r R,F2 d E
11 •仿照平面点集,叙述n维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、
闭集、区域、有界以及一些基本定理等 ).
12•叙述并证明三维空间的波尔察诺-魏尔斯特拉斯致密性定理
§ 2多元函数的极限与连续性
「叙述下列定义:
(1)
lim f
x x y y°
x,y
(2)
lim f
x
x, y
A ;
y
(3)
lim f
x a
x, y
A ;
y
(4)
lim f
x a
x, y
y
2 •求下列极限(包括非正常极限)
(1)
lim
x y
2
y_ ;

(2)
3)
(4) x1叫
sin
2 x
2 y
2
2
x
y
2
2
1
1 x
y
x y
1
sin 2
x
2 2 .
2
2
x y ln
x
y
x
y
e
e
(5) lim
x 0
y 0
y 0
2 '
y
0
0
lim
x y
3 3
x y
叫。 Hx y
⑹叫cosx siny
y 0
lim
x 0
y 0
x2y2
(8)
lim
x 0
y 2
sin xy
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
In x ey
lim
x 1
y 2
2x
y
xy
1 ;
4
4 ;
x
y
2
1 x
y
2
2
x
y
2
2
x
y
xy