文档介绍：作业二：购买十只股票的最优投资组合
1、理论基础
马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定的持有期进行投资的问题，也就是
选择一个最优的证券组合。由于每种证券（从而证券组合）未来的收益率是未知的，因此，不可能做出一个保证获得最高收益的决策。尽管可以估计每种证券未来的收益率（期望收益率），仍然不能满足上面的要求，这是因为，基于期望收益率的决策最多只能获得最高平均收益率（组合的期望收益率）。
正是因为对收益率的不确定性（风险）在决策中的关注，马柯维茨指出，任
何一位投资者在追求“高收益”的同时，还希望“收益尽可能是确定的” 。决策
目标应该有两个：第一，“尽可能高的收益率” ；第二，“尽可能低的不确定性（风
险）”。
收益与风险的度量
有关风险和收益的度量，本文用期望度量收益，用方差 ( 或标准差 ) 度量风险。
具体的用历史数据估计期望收益率和方差——样本均值和样本方差。
假设收益率的概率分布是恒定的，那么，实际收益率就是来自同一概率分布的抽样样本。因而，可以用样本均值和样本方差对期望收益率和方差进行估计。
假设从时刻 t 1 到 t
n 的实际收益率是 ri
(i
1,2,..., n) ，这就是由收益率的时间
序列所构成的样本，则样本均值和样本方差为：
1
n
r
ri
n i
1
2
1
n
r ) 2
( ri
n
1 i 1
证券之间的关联性 -- 协方差与相关系数
用 rA , rB 分别表示证券 A 和证券 B 的收益率，则其联合分布通常表示为：
P(r A rAi , rB rBj ) Pij
证券 A 和证券 B 的协方差由下式计算：
m
n
cov( rA ,r B )
( rAi Er A )(r Bj ErB ) pij
i 1
j 1
协方差反映两种证券协同变化的数量，数值大小依赖于证券收益率与自身期
望收益率的偏离程度。然而，协方差的数值大小并不能完全反映证券间的关联关
1
系。
为了对相关程度做出衡量，应将上面的偏离程度进行标准化，标准化后的协
方差就是相关系数。数学公式如下：
AB
cov(rA , rB ) ，
AB
其中，
A , B 分别是证券 A 和证券 B 的标准差。
证券投资组合的期望方差计算
证券投资组合的方差与期望的确定要计算组合 P 的期望收益率和方差，除了
要知道证券 A 和 B 的期望收益率和方差外，还必须知道证券 A 和 B 之间的相关
系数 AB （或协方差）。计算公式如下：
E(rP ) WA
E( rA ) WB E(rB )
2
2
2
2
2
2WAWBABAB
P
WA
A
WB
B
显然 , 选择不同的组合权数 WA ，就可以得到不同的证券组合，从而得到不同的
期望收益率和方差。投资者可以根据自己的偏好，选择符合自己要求的证券组合。
马柯维茨均值方差模型
要使用数学模型，就需要对客观现实进行假设。虽然社会科学对条件假设不像数学那样严格，必要的说明还是不可少的，马柯维茨模型做了下面的假设。
假设 1：投资收益率的概率分布是已知的；
假设 2：投资风险用投资收益率的方差或标准方差标识；假设 3：影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险；
假设 4：投资者都遵守占优原则；同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
理性的投资者总希望风险尽量小而收益尽量大，或者收益相等风险最小。收
益相同风险最小，即在给定的期望收益率下，寻找最小方差的资产组合 ;风险相
同收益最大，即在给定的方差下，寻找最大期望收益的资产组合 .以上两种组合中所有有效组合的集合就称作有效前沿。
求最优投资组合就是在一定的预期收益水平下，求方差最小的组合。可表示为如下最优问题：
2
1
min 2W VW
{W }
~
. W R E (rP ),
W I 1
其中， R
~~
~
)) ，表示 N 个风险资产收益率的期望向量，
( E(r1 ), E(r2 ),..., E(