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二元函数可微的充分条件（最终版）
教材的充分条件是这样的， z f ( x, y) 的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为，
f ( x, y) 偏导数存在， 且其中一个偏导数连续， 另一个偏导数单元连续 （关于求导变元） ，
则函数是可微的。
多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。
证明： 1）设 z 连续， z 关于 y 单元连续。
x y
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
z
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
f ( x, y)
f ( x0 , y)
f (x0 , y) f ( x0 , y0 )
f x ( , y) x
f y ( x0 , ) y
（1）
在 y, y0 之间，
在 x, x0 之间。
fx ( , y)
在 (x0 , y0 ) 连续，有 fx (
, y)
f x ( x0 , y0 )
1
（ 2）
1 在 x
x0 , y
y0
时是无穷小量。
f y (x0 , ) 在 y
y0
关于 y 单元连续，
有
f y ( x0 , )
f y ( x0 , y0 )
2
（3）
2 在 y
y0 时是无穷小量。
将（ 2）（ 3）代入（ 1）有
z fx (x0 , y0 ) x f y (x0 , y0 ) y
1 x
2 y
可以证明
1 x
2
y=o(
x2
y2 )
| 1
x
2
y|
|
1|+| 2 |
0
x2
y 2
| 1 |+| 2 | 是无穷小量，又两边夹准则，
| 1
x
2 y| 是无穷小量，所以
1 x
2 y 是无穷
x2
y2
x2
y2
小量，即
1 x
2
y=o(
x2
y2 )
2）设
z
连续，
z 关于 x 单元连续。
y
x
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
1
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z
f (x, y)
f ( x0 , y0 )
f ( x, y)
f ( x, y0 )
f (x,