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洛必达法则完全证明
定理 1 lim f ( x)
lim g ( x)
0 ， lim f '( x) 存在或为
x x0
x x0
xx0 g '( x)
，则 lim
f ( x) = lim
f '(x)
x x0
g (x)x x0
g '(x)
证明见经典教材。
定理 2 lim f ( x)
lim
g (x)
x
x
t
1
x
1
证明： lim f (x)
lim
f ( )
x
t 0
t
0， lim
f '( x) 存在或为
x x0
g '( x)
1
t
1
0 ， lim
x
g(x) lim g( )
x
t 0
t
f ( x) f '( x) ，则 lim = lim
0 ，由定理 1
t
x
f (1)
f '(1)( 12 )
f '(1) x
t
1
1
lim
f ( x)
= lim
t
lim
t
t
lim
t
lim
f '(x) 。
x
g( x)
t 0
1
t 0
1
1
t 0
1
x
g '(x)
g (
t )
g '(
t )(
t 2 )
g '(
t )
定理 3 lim
f ( x)
lim
g (x)
， lim
f
'( x) 存在或为
，则 lim
f ( x) = lim
f '( x)
x x0
x x0
x x
g '( x)
x x
g( x)
x x
0 g '( x)
0
0
1
证明： lim
f ( x) = lim
g (x) ，由定理 1
x
x0
g (x)
x
x0
1
f ( x)
1
lim f (