文档介绍：根轨迹法讲解和性能指标
根轨迹法讲解和性能指标
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内 容 提 要
根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。
根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。
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知 识 要 点
传递函数的零极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。
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线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。
1948年伊万斯()提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
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§ 根轨迹的基本概念
  什么是根轨迹
图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：
该系统的开环特征方程为：
解得系统开环极点为：
s1=0，s2=―1 ，s2=―2
图4-1 反馈控制系统
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该系统的闭环特征方程为：
系统闭环传递函数为：
如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当0<K<，当K>，只要0<K<6闭环系统一定稳定。可见，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与开环增益K的关系。
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图4-2 根轨迹图
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可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根分布的影响。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称为系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹（典型根轨迹）。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。
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利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：
（1）判断该系统在K从0到变化时的稳定性；
（2）判断系统在K从0到变化时出根轨迹的条数；
（3）判断该系统在K取值在何范围时处于过阻尼、
临界阻尼和欠阻尼状态；
（4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性；
（5）当K值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之；
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传统的根轨迹法是不直接求解特征方程的，它创造了一套行之有效的办法——图解加计算的手工绘图法。如今，尽管手工绘制根轨的一些繁琐技艺已经没有多大价值，但是，它所发掘出来的根轨迹基本规律，无论用哪种方法作图都是适用的。
今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在s平面上绘出根轨迹。
根轨迹绘制的基本条件
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