文档介绍：氏优学
教学课题
椭圆
知识点一：椭圆的定义
平面一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形.
1．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意：
1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
3．，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数
1．椭圆的焦距为，则= 。
2．椭圆的一个焦点是，那么 。
知识点三：椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），
A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长
和短半轴长。
（4）离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
②因为a＞c＞0，所以e的取值围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因
此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
（1），，；
（2），，；
（3）,，；
知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
，
，
注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
题型一 椭圆焦点三角形面积公式的应用
定理 y
F1 O F2 x
P
P
在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.
证明：记，由椭圆的第一定义得
在△中，由余弦定理得：
配方得：
即
由任意三角形的面积公式得：
.
典题妙解
例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求
△的面积.
解法一：在椭圆中，而记
点P在椭圆上，
由椭圆的第一定义得：
在△中，由余弦定理得：
配方，得：
从而
解法二：在椭圆中，，而
解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
解：设，则，
故选答案A.
练****br/>6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△ 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.
参考答案
6．解：设，.
，.
又，即.
或.
当时，，这时椭圆的标准方程为；
当时，，这时椭圆的标准方程为；
但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为.
题型二 中