文档介绍：平面的法向量与平面的向量表示
平面法向量与平面向量表示
一、复****引入
、判定和性质
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。
判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
性质：
(1)垂直于同一个平面的两条直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。
平面法向量与平面向量表示
二、概念形成
已知平面 ，如果向量 的基线与平面 垂直，则 叫做平面 的法向量或说向量 与平面 正交。
由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。
由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。
模为1的法向量，叫做单位法向量，记作 显然
平面法向量与平面向量表示
二、概念形成
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
已知： 是平面 内的两条相交的直线，且 求证：
平面法向量与平面向量表示
正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。
二、概念形成
例子：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。
平面法向量与平面向量表示
待定系数法
平面法向量与平面向量表示
例题
例1：已知点 ， ， ，其中
求平面 的一个法向量。
有何
关系？
平面法向量与平面向量表示
二、概念形成
空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。
设A是空间任意一点， 为空间任意一个非零向量，适合条件 的点 M 的集合构成什么样的图形？
A
M
M1
M2
我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。
称此为平面的向量表达式。
平面法向量与平面向量表示
二、概念形成
设 分别是平面 的法向量，则有
平面法向量与平面向量表示
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。
二、概念形成
例子
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。
平面法向量与平面向量表示