文档介绍：图论及其应用
应用数学学院
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本次课主要内容
(二)、E图和H图的关系
超哈密尔顿图问题
(一)、超H图与超H迹
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定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是H图，则称G是超H图。
(一)、超H图与超H迹
定理1 彼得森图是超H图。
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彼得森图
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证明： (1) 证明彼得森图是非H图。
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若不然，设C是G的H圈。
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彼得森图
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又对于边28，23来说，在前面情况下，必有一条在C中。分两种情形讨论。
对于边12, 17,15来说，必然有两条边在C中。不失一般性，假定17,12在C中，那么，56，54也必然在C中。
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彼得森图
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但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。
情形1：假如28在C中，则39，34在C中,从而7(10), 8(10)在C中
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但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。
情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39, 79在C中.
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彼得森图
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彼得森图
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上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。
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由对称性，只需考虑下面两种情形: (a) G-1,（b）G-6
(2) 证明对任意点v，G-v是H图。
(a) G-1中有H圈：54328(10)7965
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G-1
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(b) G-6中有H圈：54397(10)8215
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G-6
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由(1)与(2)，G是超H图。
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定义2 若G中没有H路，但是对G中任意点v，G-v存在H路，则称G是超可迹的。
数学家加莱曾经猜想：不存在超可迹的图。但该猜想被Horton和Thomassen以构图的方式否定了。
定理2 Thomassen图是超可迹图。
a
b
d
e
f
c
Thomassen图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
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定理证明分为两部分: (1) 证明G中不存在H路；(2) 证明对G中任意点v，有G-v存在H路。
(1) 证明G中不存在H路。
如图所示，将G用虚线分成对称的4部分：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ 。
a
b
d
e
f
c
Thomassen图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
假设G有H路P,设该路的起点为α，终点为β。
不失一般性，设α∈ Ⅰ∪｛a｝。
断言1： Ⅰ∪｛a｝ 中不存在以a , c , d三点中任意两点为端点的H路。
若不然，将推出彼得森图是H图。
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a
b
d
e
f
c
Thomassen图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
断言2： Ⅰ∪Ⅱ ∪ ｛a， b｝ 中不存在以a 为端点的H路。
若不然，设Q是一条以a为起点的Ⅰ∪Ⅱ ∪ ｛a， b｝ 中的H路。那么，从a出发，沿着该路行走有两种可能: (1) 遍历了Ⅰ中所有点之后，从c或d进入Ⅱ，但这形成了Ⅰ ∪｛a｝ 中的以a, c或a, d为端点的H路，与断言1矛盾！
(2) 没有遍历完Ⅰ ∪｛a｝ 中的顶点，假若从c进入Ⅱ，那么，必须遍历完Ⅱ ∪ ｛b｝ 的所有顶点后，才能从e进入Ⅰ。但这也会与断言1产生矛盾。
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