文档介绍：第1章建立数学模型
从现实对象到数学模型
原型和模型
原型(prototype) 在现实世界里人们关心、研究或从事生产、管理的实际对象. 如机械系统,生态系统,钢铁冶炼过程,污染扩散过程等.
模型(model) 为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构成的原型的替代物.
分类
物质模型(形象模型):直观模型,物理模型(如风洞,核爆炸反应模拟设备)等.
理想模型(抽象模型):思维模型(掷骰子,袋中摸球),符号模型(电路图),数学模型等.
数学模型由数字、字母或其它数学符号组成的、描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.
与数学模型有密切关系的有数学模拟,计算机模拟,数学实验等.
数学模型可描述为:对现实世界的一个特定对象,为了一个特定的目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构.
为什么需要建立数学模型?分析,预报,决策,控制等. 如火炮的仰角与射程的关系,可用数学公式得到解决,不必通过实物试验.
在对数学模型的研究中,重点:讨论建立数学模型的全过程,即如何建立数学模型.
建立数学模型的全过程:表述,求解,解释,验证
数学建模的重要意义
在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地.
在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具.
数学迅速进入一些新领域,为数学建模开拓了许多新的处女地.
数学建模的应用:
分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理等等.
建模示例之一椅子能在不平的地面上放稳吗?
模型假设
1. 椅子四条腿的端点视为四个点,且为正方形的四个顶点.
2. 地面高度连续变化.
3. 对椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面相对平坦,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
模型构成如图,椅子的位置可用q表示. 设A、C与地面距离之和为f(q),B、C与地面距离之和为g(q). 由于至少有三条腿着地,故有f(q) ³ 0, g(q) ³ 0, f(q)g(q) ³ 0,且f(q)、g(q)为连续函数.
模型求解设h(q) = f(q) - g(q). 对q = 0和q = p/2,A、C的位置与B、D的位置互换,故有h(p/2) = -h(0). 若h(0) ¹ 0,则h(0)与h(p/2)异号,由连续函数的性质,必有q0Î(0, p/2),使h(q0) = 0. 又f(q0)与g(q0)中至少有一个为零,故f(q0) = g(q0) = 0,即这时椅子四脚着地.
注: “至少三脚着地”和“f, g都非负”的假设可不要, 仍可证明存在q0Î (0, p/2),使h(q0) = 0. 这时A , B, C, E 四点在地面的投影共面,椅子可放稳.<br****题p22, 4.)若ABCD为矩形但非正方形,设OA与OB之间夹角为a,仍用上面所设的函数,则有f(q + a) = g(q),且f与g都是周期为p的函数,因此f与g有相同的最大、最小值. 设f(q1) = max,f(q2) = min,则f(q1) ³ g(q1),f(q2) £ g(q2). 由函数的连续性,在q1与q2之间至少有一点q0使f(q0) = g(q0).
建模示例之二商人们怎样安全过河
三名商人各带一个随从乘船渡河.