文档介绍：第八章特征值问题的计算方法/*Computational Method of Eigenvalue Problem*/
本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
特征值和特征向量的基本概念与性质
§1 基本概念与性质
设,若存在向量和复数满足
,则称是矩阵的特征值, 是特征值
相应的特征向量。
特征多项式的根的集合:谱集
其中
称为的代数重数(简称重数);
为的几何重数。
设,
对于矩阵的特征值,如果
,则称该特征值为的一个半单特征值。
若的所有特征值都是半单的,则称是非亏损的。
是非亏损的等价条件是有n个线性无关的特征向量
设,
若存在矩阵,使得
则称和是相似的。
相似矩阵有相同的特征值
设
寻求已知矩阵的相似矩阵,要求:
矩阵的特征值和特征向量容易计算
本章QR算法的基本思想:
设,有 r个互不相同的特征值,
其重数分别为,则一定存在非奇异矩阵
使得
(Jordan分解)
其中
且除了的排列
次序外, 是唯一的。
称作的Jordan标准型
设,则存在酉矩阵,使得:
(Schur分解)
其中是上三角矩阵,且适当选择,可使的元素
按任意指定的顺序排列。
设,令
(圆盘定理)/*Disc Theorem*/
则
设为对称矩阵,则存在正交矩阵
(谱分解定理)/*Spectral position*/
其中是的n个特征值。
使得
设为对称矩阵,且的特征值为
(极大极小定理)
其中表示中所有k维子空间的全体。
则有
设为对称矩阵,其特征值分别为
(Weyl定理)
则有
说明:对称矩阵的特征值总是良态的。
注意:实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到,
本身必然存在误差,不妨假设
§2 幂法与反幂法/*Power Method and Reversed Power Method*/
幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征
向量的一种迭代方法(又称为乘幂法)。
一、幂法的基本思想与算法
假设是可对角化的,即存在如下分解:
其中
不妨假设
对于
说明:当k充分大时, 的一个近似特征向量为
特征向量可以相差一个倍数
因为向量中含有未知量,实际不能计算
但我们关心的仅是的方向,故作如下处理:
令
其中为的模最大分量