文档介绍：第六章线性与非线性方程组的迭代解法
/*Iterative Method for Solving Linear and Nonlinear Algebraic Systems*/
求解
迭代法
从一个初始向量出发,按照一定的递推格式,产生逼近方程组的近似解序列。
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有:
程序简单,存储量小的优点。特别适用于求解系数
矩阵为大型稀疏矩阵/* sparse matrices */ 的方程组。
思路
与解f (x)=0 的不动点迭代相似, 将方程组
等价改写成形式,从而建立迭代格式
,从出发,生成迭代序列
§ Jacobi和Gauss-Seidel迭代法
一、 Jacobi迭代法
设方程组
将系数矩阵分裂为:
其中
如果
原方程组可化为
其中
相应的迭代格式
上述方法称为Jacobi迭代法,简称J法或简单迭代法
分量形式:
二、 Gauss-Seidel迭代法
G-S迭代法是J迭代法的一种改进
在J迭代公式中,计算时,利用已经算出来的新的
值,从而得到G-S迭代法。
G-S迭代法的分量形式:
例1:利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组
解:
Jacobi迭代格式
G-S迭代格式
计算结果
取初值
Jacobi迭代法
要求
精度
迭代
次数
9
( )
10
( )
14
( )
方程组的近似解
G-S迭代法的迭代矩阵:
计算结果
Gauss-Seidel迭代法
要求
精度
迭代
次数
5
( )
7
( )
8
( )
方程组的近似解
取初值
由迭代公式
迭代矩阵
§ Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析
收敛的充要条件与误差估计
上述两种方法都可以写成如下迭代形式:
称为单步定常线性迭代法, 为迭代矩阵, 为常数项。
当迭代公式产生的序列收敛到向量,
即,则称该迭代法收敛,否则为发散。
?
(相容性)
如果方程组与等价,
即存在可逆矩阵,使得
则称迭代法与已知方程组是相容的。
Jacobi迭代法:
Gauss-Seidel迭代法:
引理
迭代法收敛的充要条件是
证明:
设为方程组的解,
设迭代法收敛,则有
由相容性知,