文档介绍：在没有舍入误差的情况下,经过有限次
运算可以得到方程组的精确解的方法。
第三章线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解
Cramer法则:
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时,每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年!
直接法
§ 三角形方程组和三角分解
一、三角形方程组的解法
考虑下三角形方程组
的计算公式为:
下三角形方程组的前代法:
for
end
考虑上三角形方程组
的计算公式为:
上三角形方程组的回代法:
for
end
两种算法的工作量(加减乘除运算次数之和)均为
三角分解法的基本思想:
记
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
设已知方程组系数矩阵的三角分解为
其中, 为下三角矩阵, 为上三角矩阵.
二、高斯(Gauss)变换
取下三角形矩阵
则可表示为
其中为单位矩阵,
称下三角形阵为高斯(Gauss)变换, 为高斯向量.
Gauss变换的定义
高斯(Gauss)变换的性质
性质1 设向量且
则存在唯一的下三角阵,满足
证明:
寻找满足条件的初等下三角阵
记
写成分量形式:
唯一确定
性质2
性质3