文档介绍：第四章多项式插值与函数逼近
/*Polynomial Interpolation and Approximation of Functions */
本章主要内容:
1、Lagrange插值方法
2、Newton插值方法
3、Hermite插值方法
4、三次样条插值方法
5、函数逼近:最佳平方逼近和最佳一致逼近
实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题:
(1)如果函数表达式本身比较复杂,且需要多次重复计算时,
计算量会很大;
(2)有的函数甚至没有表达式,只是一种表格函数,而我们需
要的函数值可能不在该表格中。
对于这两种情况,我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数来近似代替,这就是数值逼近问题。
问题背景
§1 插值问题/* Interpolation Problem */
(插值的定义)
已知定义于区间上的实值函数在个互异节点
处的函数值,若函数集合中的函
数满足
则称为在函数集合中关于节点的一个插值函数,并称为被插值函数,[a,b]为插值区间, 为插值节点,(*)式为插值条件。
设
外插法:
内插法:
用计算被插值函数在点处的近似值
用计算被插值函数在点处的近似值
插值类型
代数插值:集合为多项式函数集
x0
x1
x2
x3
x4
x
g(x) f(x)
几何意义:
有理插值:集合为有理分式函数集
三角插值:集合为三角函数集
代数插值的存在唯一性
设
即
代入插值条件:
方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵
方程组存在唯一解,因此满足插值条件(*)
的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.
截断误差
插值余项
设在区间[a,b]上连续, 在区间[a,b]上存在,
是满足插值条件(*)的不超过n次的插值多项式,则对
存在,满足
其中。且当在区间[a,b]有上
界时,有
代数插值的插值余项
/* Remainder */
注意这里是对 t 求导
证明:
设
结论显然成立
时
构造辅助函数
则有个互异零点、
由罗尔(Roll)定理
在区间(a,b)上至少有n+1个互异零点
在区间(a,b)上至少有n个互异零点
以此类推,反复利用Roll定理
在区间(a,b)上至少有1个零点
而
注:(1)插值误差与节点和之间的距离有关;
(2) 如果本身为多项式,其插值函数为本身。
(3)通常不能确定, 而是估计, x(a,b)
将作为误差估计上限。
§2 代数插值多项式的构造方法
一、拉格朗日多项式/* Lagrange Polynomial */
n
i
y
x
P
i
i
n
,
...
,
0
,
)
(
=
=
求 n 次多项式使得
条件:无重合节点,即
n = 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ,求
使得
1
1
1
0
0
1
)
(
,
)
(
y
x
P
y
x
P
=
=
可见 P1(x) 是过( x0 , y0 ) 和( x1, y1 ) 两点的直线。
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
x
x
x
x
y
y
y
x
P
-
-
-
+
=
1
0
1
x
x
x
x
-
-
0
1
0
x
x
x
x
-
-
= y0 + y1
l0(x)
l1(x)
=
=
1
0
)
(
i
i
i
y
x
l
称为拉氏基函数/*Lagrange Basis*/,
满足条件 li(xj)=ij