文档介绍：第二部分集合论
引言
集合是数学中最基本的概念,又是数学
各分支、自然科学及社会科学各领域的最普
遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重
要组成部分,是现代数学中占有独特地位的
一个分支。集合论的基本概念已渗透到数学
的所有领域。如果把现代数学比作一座无比
辉煌的大厦,那么可以说集合论正是构成这
座大厦的基石,由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被
誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
下面就让我们一起去探究一下这门独特而重要的数学理论的来龙去脉,追觅它所走过的曲折历程吧。
集合论的诞生  
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。  十七世纪数学中出现了一门新的分支:微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初,许多迫切问题
得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
康托尔的不朽功绩  
我们所学习的只是集合论的最基本识。
人们或许觉得一切都是很自然与简单的,根
本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情
景,也体会不到康托尔的功绩之所在。前苏
联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时
说:“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。数学与无穷有着不解之缘,
但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。因为
这一原因,在数学发展的历程中,数学家们
始终以一种怀疑的眼光看待无穷,并尽可能
回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却
勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把
无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片
未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新
世界。
对无穷集的研究使他打开了“无限”这一
数学上的潘多拉盒子。
天神普罗米修斯从天上盗火种送给人类,
人类学会了使用火,主神宙斯十分恼火,宙
斯决定要让灾难也降临人间。
他命令他的儿子火神赫淮斯托斯用泥土制作一个女人,名叫潘多拉(Pandora) , 意为“被授予一切优点的人”。每个神都对她所赋予以使她完美。阿佛洛狄忒(Aphrodite)送给她美貌,赫耳墨斯(Hermes)送给她利嘴灵舌,阿波羅(Apollo)送给她音乐的天赋。宙斯给潘多拉一个密封的盒子,里面装满了祸害、灾难和瘟疫,让她送给娶她的男人。宙斯将这位丽人遣送到人间,众神和凡人正在大地上休闲游荡,其乐融融,大家见了这无以伦比的漂亮女子,都十分惊奇,称羡不已,因为人类从未有过这样的女人。
潘多拉立即去找“后觉者”厄庇墨透斯,他是普罗米修斯的弟弟,为人老实厚道。普罗米修斯深信宙斯对人类不怀好意,告诫他的弟弟厄庇透斯不要接受宙斯的赠礼。可他不听劝告,娶了美丽的潘多拉。潘多拉双手捧着她的礼物,这是一只密封的大礼盒。她刚走到厄庇墨透斯近前时,突然打开了盒盖。厄庇墨透斯还未来得及看清盒内装的是什么礼物,一股祸害人间的黑色烟雾从盒中迅疾飞出,犹如乌云一般弥漫了天空,黑色烟雾中尽是疾病、疯癫、灾难、罪恶、嫉妒、奸淫、偷窃、贪婪等各种各样的祸害,
这些祸害飞速地散落到人地上。而智慧
女神雅典娜为了挽救人类命运而悄悄放在盒
子底层的美好东西“希望”还没来得及飞出盒子,
奸猾的潘多拉就把盒子关上了。后即以“潘多
拉魔盒”比喻会带来不幸的礼物;灾难的渊薮。
有的说:从盒里飞出的全是灾祸,它们
撒遍人间,幸亏希望留在我们手中,使我们
还能忍受这不幸的人生。有的说:从盒里飞
出的全是幸福,它们逃之天夭,留在我们手
中的希望只是空洞的幻影。
人类的人性不就是这样吗?束缚的太紧,
人就会萎缩,失去生命力;毫无束缚,肆意
张扬,人的动物性的一面又会恶性膨胀。这不正如潘多拉手中的那个魔盒吗?打开就放出了邪恶,关闭又封住了希望。
下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么。  “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示。”人们对这句话不会感到陌生。但人们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释。无限永远