文档介绍：第三章命题逻辑的推理理论
推理的形式结构
一、有效推理
    数理逻辑的主要任务是用数学的方法来
研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出
发推出结论的思维过程,而前提是已知命题
公式集合,结论是从前提出发应用推理规则
推出的命题公式。要研究推理就应该给出推
理的形式结构,为此,首先应该明确什么样
的推理是有效的或正确的。
设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式,若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值,或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假,或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时,B也为真,则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的,并称B是有效结论。
:
    ,A2,…,Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列,而是一个有限的公式集合,若将这个集合记为Г,可将由Г推B的推理记为Г├ B。若推理是正确的,则记Г B,否则记为Г B。这里,可以称Г├B
和{ A1,A2,…,Ak}├ B 为推理的形式结构。
,A2,…,Ak,B中共出现n个命题变项,
对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1,i=1,2,…,n),前提和结论的取值情况有以下四种:
(1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0,B为0.     (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0,B为1.     (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1,B为0.     (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1,B为1.
,只要不出现(3)中的情况,推理就是正确的,因而判断推理是否正确,就是判断是否会出现(3)中的情况。
,推理正确,并不
能保证结论B一定为真,这与数学中的推理是不同的。
判断下列推理是否正确:      (1){p,p→q}├ q      (2){p,q→p}├ q
 解只要写出前提的合取式与结论的真值表,看是否出现前提合取式为真,而结论为假的情况。
(1),没有出现前提合取式为真,而结论为假的情况,因而(1)中推理正确,即{p,p→q} q.
(2),在赋值为10情况下,出现
了前提合取式为真,而结论为假的情况,因而(2)推理不正确,即{p,q→p} q.
二、有效推理的等价定理
命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当           (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
 证首先证明其必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确,则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值,不会出A1∧A2∧…
∧Ak为真,而B为假的情况,因而在任何赋值下,蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真,故它为重言式。
    再证明其充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…
∧Ak)→B为重言式,则对于任何赋值此蕴涵
式均为真,因而不会出现前件为真后件为假的情况,即在任何赋值下,或者A1∧A2∧…
∧Ak为假,或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真,。
由此定理知,推理形式:
前提:A1,A2,…,Ak           结论:B 是有效的当且仅
(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧Ak)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是,推理正确
{A1,A2,…,Ak} B
可记为
      A1∧A2∧…∧Ak B
其中同一样是一种元语言符号,
用来表示蕴涵式为重言式。
  我们已经知道判断命题公式永真性有
三个方法:
1. 真值表法     2. 等值演算法     3. 主析取范式法