文档介绍：E (C ) = C
E (aX ) = a E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
当X ,Y 相互独立时，
B. 数学期望的性质
E (X Y ) = E (X )E (Y )
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性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立
反例
X
Y
pij
-1 0 1
-1
0
1
0
p• j
pi•
注
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2
X Y
P
-1 0 1
但
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若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0。
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY。
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则
由X ≥0 得：
所以
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0。
而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y)。
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4
性质2和3
性质4
例1设 X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X与Y相互独立，求 E(3X＋2XY－Y＋5)。
解：
由已知， 有 E(X)＝10, E(Y)＝3
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例2(二项分布 B(n,p)) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？
解: 引入
则 X＝ 是n次试验中的成功次数。
因此，
这里， X～B(n,p)。
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例3将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子数的数学期望
解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分布为
X
P
0 1 2 3
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解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4
Xi
P
1 0
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例4 将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的期望。
解:
引入随机变量:
则 X=X1+X2+…+XM ,于是
E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM)
每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M
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因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).
故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ,即:
注：129页427以此题为模型。
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