文档介绍：第二章 多元正态分布
§ 21 定义
回顾：X~N(m, s 2)，
线性变换不变性：X~N(0, 1) Y = sX + m ~ N(m, s 2)
定义21 设x = (x1 x2 … xn)'，x1, x2 ,…,xnN(0, 1)，A∈Rm×n，m∈Rm，则称
服从元正态分布，记y ~ Nm(m , AA' )，从而x ~ Nn(0 , I )。
定理21 设y ~ Nm(m , AA' )，则其特征函数为
证明：
记V = AA' ≥ 0，y ~ Nm(m , V )。
定理22 设y ~ Nm(m , V )，V > 0，则y的密度函数为
证明： 由V = AA' > 0知|A|≠0（比如取），又由x1, x2,…, xmN(0,1)知其联合密度函数为
令y = Ax + m x = A-1(y-m)，则
若|V |=0，rank(V )= r < m，可给出形式密度函数：
其中l1,…,lr为V的非零特征值。
定理23 （线性变换不变性）设y ~ Nm(m , V )，则对B∈Rl×m，d∈Rl有
证明：y = Ax+m， z = B(Ax+m)+d = (BA)x + (Bm + d )， 而(BA)(BA)' = BAA'B' = BVB' 即得。
推论（标准化） 设y ~ Nm(m , V )，V > 0，则
一般若rank(V )= r≤m，则存在使A(y-m) ~ Nr(0 , Ir )。
定理24 y ~ Nm(m , V ) a' y ~ N( a'm, a'Va )，a∈Rm。
证明：“”是定理23的推论。
“”
令t=1有
多元正态分布的三个等价定义：
①线性函数构造（定义）
②特征函数（定理21）
③线性组合（定理24）
定理25 （边缘分布）设
则。
证明：在定理23中取即得。
即多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，但反之不然。例如由二维联合密度函数
可求得边缘分布xi~N(0,1), i=1,2，但显然 ～/ N
§ 22 矩
定义22 设x = (x1 x2 … xn)'为n维随机向量，定义其均值（期望）向量为
Ex = (Ex1 Ex2 … Exn)'
定义其协方差矩阵为
D(x) = E{(x-Ex) (x-Ex)'}= (vij)n×n , vij = cov(xi, xj)
定义相关矩阵为
定义与的协方差阵为
cov(x, y) = E[(x-Ex) (y-Ey)']
结论 随机向量的期望与协方差阵有下面性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）x与y相互独立
x与y不相关
证明：（4）
（7）
x与y独立 xi与yi独立
（特别）
定理26 设y ~ Nm(m , V )则
证明：
例21 设，分析其密度函数及图形。
解：y的特征函数
记，，
故密度函数
f(y1,y2)的等高线为
作变换
------------------------------------------------------------------------- 4
§ 23 条件分布与独立性
设
定理27 设y ~ Nm(m , V ), V >0则
y1| y2 ~ Nm(m12 , V112)
其中 m12= m1+ V12 V22-1(y2- m2), V112= V11- V12 V22- 1 V21。
证明： 由V > 0 V112 > 0, V22 > 0,
将z = By 代入并注意到=|B| =1得
z1-b = y1- V12V22-1 y2-( m1- V12V22-1m2)
= y1-[ m1+ V12V22-1( y2-m2)]
= y1- m12
故条件密度函数
例22 当m=2, r=1时，m1= m1，m2= m2，V11=s12，V22=s22，
V12= V21 = s1s2 r ，m12= m1+ r (y2- m2)，
V112= s12 - s1s2 r s2-2 s1s2 r = s12(1- r 2 )
即y1| y2 ~ N( m1+ r (y2- m2) , s12(1- r 2 ))。
注意到 V11- V112 = V12V22-1V21 ≥ 0 V11 ≥ V112