文档介绍：第六章
利用元素法解决:
定积分在几何上的应用
定积分在物理上的应用
定积分的应用
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第一节
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定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ?
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第六章
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定积分的应用极其广泛, 本章仅介绍它在几何与经济上的应用, 并希望同学们通过本章的学****能够熟练地的运用元素法将一个总量表达成为定积分的分析方法微元法.
一. 定积分的微元法
如图: 曲边梯形 AabB 的面积为定积分
ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上的任意小区间[ x, x + ∆ x] 上的小曲边梯形面积ΔS 的近似值, 而
而这个积分的被积表达式
x+Δx
x
o
x
y
y=ƒ(x)
x=b
a
b
B
A
x=a
∆S
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(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx 为被积表达式, 在[a , b]上作定积分即可(面积微元进行求和累加).
根据微分的定义有ƒ(x)dx = dS. 即
求曲边梯形 的面积 S 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间
[x , x + dx], 并求出面积 S 的微分
当∆x = dx → 0 时,
ΔS = ƒ(x)dx + o(dx)
(面积微元)
dS = ƒ(x)dx
x+Δx
x
o
x
y
y=ƒ(x)
x=b
a
b
B
A
x=a
∆S
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抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象, 就得到微元法思想的表述:
数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量 A 的微分
dA = ƒ(x) dx
具有可加性(即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和); 在区间 [x , x + d x ] 上对应分量的近似值为ƒ(x)dx , 则有
若总量 A与变量 x 的变化区间[a , b]有关, 且对区间
dA = ƒ(x) dx, 称为总量A 的积分微元.
且总量为