文档介绍：21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于,两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：．
【解析】(1)由已知得，的方程为．
由已知可得，点的坐标为或．
所以的方程为或．
(2)当与轴重合时，．
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，，直线，的斜率之和为．
由，得
．
将代入得
．
所以，，．
则．
从而，故，的倾斜角互补，所以．
综上，．
24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆：，四点，，
，中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．
又由知，C不经过点，所以点在C上．
因此，解得．
故C的方程为．
（2）设直线与直线的斜率分别为，，
如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为
（t，），（t，）．
则，得，不符合题设．
从而可设：（）．将代入得
由题设可知．
设，，则，．
而
．
由题设，故．
即．
解得．
当且仅当时，，欲使：，即，
所以过定点（2，）
25．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．
【解析】（1）设，，则，，．
由得 ，．
因为在上，所以．
因此点的轨迹方程为．
（2）由题意知．设，，则
，，，
，，
由得，又由（1）知，
故．
所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 
30．(2015新课标2）已知椭圆C：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设直线，，，．
将代入得，
故，．
于是直线的斜率，即．
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（Ⅱ）四边形能为平行四边形．
因为直线过点，
所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．
由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
由得