《无穷限的广义积分》PPT课件.ppt

文档介绍：一、无穷限的广义积分
第四节　广义 积 分
二、无界函数的广义积分
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一、无穷区间的广义积分
例 1　求由曲线 y = e-x，
y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积.
解　这是一个开口曲边梯形，
为求其面积，任取 b [0, + )，
在有限区间 [0, b] 上，
以曲线 y = e- x为曲边的曲边梯形面积为
b
y = e-x
y
x
O
(0,1)
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y = e-x
y
x
b
O
(0,1)
即
当 b  +  时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，
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定义 1　设函数 f (x) 在 [a, + )上连续，
取实数 b > a，
如果极限
则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + ) 上的广义积分，
这时也称广义积分收敛，
记作
即
存在，
否则称广义积分发散.
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定义 2　设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续，
取实数 a > b，
如果极限
则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b] 上的广义积分，
这时也称广义积分收敛，
记作
即
存在，
否则称广义积分发散.
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定义 3　设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续，
且对任意实数 c，
如果广义积分
则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无穷区间 (- , + ) 内的广义积分，
这时也称广义积分收敛，
记作
即
都收敛，
否则称广义积分发散.
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若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为
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例 2　求
解
例 3　判断
解
由于当 x  +  时，sin x 没有极限，所以广义积分发散 .
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例 4　计算
解　用分部积分法，得
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例 5　判断
解
故该积分发散.
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