文档介绍：有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
第10章 线性代数模型
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Durer 魔方
德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。
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1 Durer 魔方
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
特点
每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。
所出现的数是1至16的自然数。
四角之和、中间对边之和均为34。
最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。
问题
是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？
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0
6
1
18
9
10
6
0
15
0
9
1
1
9
9
6
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9
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150
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110
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40
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120
130
30
60
定义
如果4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为 Durer 魔方。
R=C=D=S
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你想构造Durer魔方吗？
如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？
2 Durer魔方的生成集
所有的Durer魔方的集合为 D
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
O=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
E=
R=C=D=S=0
R=C=D=S=4
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a11
a12
a13
a14
a21
a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
A=
b11
b12
b13
b14
b21
b22
b23
b24
b31
b32
b33
b34
b41
b42
b43
b44
B=
类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。
易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。
记 M ={所有的4×4数字方} ，则其维数为16。
而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。
根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，
则任一个Durer方均可由这组基线性表示。
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由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 个，记为Qi, i=1,2,…,8。
Q1=
1
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0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
Q2=
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
Q3=
Q4=
0
0
0
1
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0
1
0
0
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0
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0
1
0
0
1
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0
0
0
0
1
0
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Q5=
0
0
1
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0
1
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0
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0
1
Q6=
0
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0
0
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1
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0
0
0
0
0
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Q7=
0
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1
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0
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0
0
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0
0
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0
0
0
Q8=
0
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0
0
0
0
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0
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0
0
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易知
则
线性相关。
而由
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。
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结论：
1 Durer方有无穷多个。
2 Durer方可由
线性组合得到。
Albrecht Durer的数字方的构成：